Высшая математика Основы математического анализа i Геворкян П С i



Основы математического анализа

Я уверился в той истине, что понятия не должны приобретаться навыком,
но должны быть переданы с первого раза во всей их обширности, с точностью, ясностью и определённостью;
а потом уже утверждаться упражнением, чтоб могли через то глубже напечатлеться в памяти
и с лёгкостью быть применяемы в дальнейших исследованиях.

Содержание

Аксиоматика множества действительных чисел (аксиомы поля, линейного порядка, аксиома полноты, аксиомы, связывающие сложение и порядок, умножение и порядок). Алгебраические свойства действительных чисел.

Теорема о существовании и единственности точной грани непустого ограниченного числового множества.

Числовая прямая. Определение действительного числа по Коши, Дедекинду. Теорема Коши-Кантора о последовательности вложенных сегментов. Сегментное определение действительных чисел.

Покрытие множества. Теорема Бореля-Лебега о возможности выбора конечного подпокрытия всякого покрытия отрезка интервалами.

Предельная точка числового множества. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки ограниченного числового множества.

Последовательность, подпоследовательность. Предел числовой последовательности, сходящаяся последовательность. Свойства пределов последовательностей.

Критерий Коши сходимости последовательности. Теорема Вейерштрасса о существовании предела монотонной ограниченной последовательности.

Функция. Композиция функций. Обратная функция.

Предел функции Править

Предел функции, свойства пределов. Вопросы существования предела функции, теорема о пределе композиции функций. Замечательные пределы.

Непрерывные функции Править

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Локальные свойства непрерывных функций. Свойства функции, непрерывной на отрезке принимать промежуточные значения, быть ограниченной, достигать своих точных граней. Равномерная непрерывность функции.

Производные, дифференциалы Править

Производные и дифференциалы, их геометрический смысл. Основные правила дифференцирования: дифференцирование и арифметические операции, дифференцирование композиции функций, дифференцирование обратной функции, таблица производных элементарных функций. Теорема Лагранжа о конечном приращении и ее следствия. Формула Тейлора, правило Лопиталя. Применение к приближенным вычислениям. Исследование функций методами дифференциального исчисления и построение графиков.

Неопределённый интеграл Править

Неопределённый интеграл. Условия интегрируемости функции. Интегрирование некоторых элементарных функций. Основные правила интегрирования, интегрирование путём замены переменных, по частям.

Определённый интеграл Править

Интегральная сумма, определённый интеграл. Классы интегрируемых функций. Свойства определённых интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения определённого интеграла. Понятие о несобственных интегралах. Интегральный признак сходимости числовых рядов.

Геометрические и физические приложения определённого интеграла Править

Длина дуги кривой. Площадь плоской фигуры. Объём тела. Площадь поверхности.

Некоторые физические приложения определённого интеграла.

Числовые ряды Править

Числовой ряд, частичная сумма, сходимость ряда, сумма ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда. Критерий Коши сходимости ряда.

Ряды с неотрицательными членами, критерий сходимости таких рядов, теорема сравнения.

Абсолютная и условная сходимости рядов. Признак Вейерштрасса абсолютной сходимости ряда, признаки Коши и Даламбера. Сочетательное и переместительное свойства абсолютно сходящихся рядов.

Функциональные последовательности и ряды Править

Функциональный ряд и его область сходимости. Равномерная сходимость ряда. Критерий Коши равномерной сходимости, признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов.

Степенные ряды Править

Степенные ряды. Радиус и область сходимости степенного ряда. Степенной ряд как ряд Тейлора. Разложение в ряд Тейлора показательной и основных тригонометрических функций, логарифмический ряд, биномиальный ряд.

Ряды Фурье Править

Ряды Фурье. Сходимость рядов Фурье в среднем. Достаточные условия равномерной сходимости рядов Фурье.

Источник

МАТЕМАТИ́ЧЕСКИЙ АНА́ЛИЗ

МАТЕМАТИ́ЧЕСКИЙ АНА́ЛИЗ, раз­дел ма­те­ма­ти­ки, в ко­то­ром пе­ре­мен­ные ве­ли­чи­ны (функ­ции и их обоб­ще­ния) изу­ча­ют­ся с ис­поль­зо­ва­ни­ем пре­де­лов. По­ня­тие пре­де­ла свя­за­но с по­ня­ти­ем бес­ко­неч­но ма­лой ве­ли­чи­ны, и ино­гда го­во­рят, что М. а. изу­ча­ет функ­ции и их обоб­ще­ния с ис­поль­зо­ва­ни­ем ме­то­да бес­ко­неч­но ма­лых. Ста­рое назв. М. а. – «Ана­лиз бес­ко­неч­но ма­лых», точ­нее бы­ло бы: ана­лиз по­сред­ст­вом бес­ко­неч­но ма­лых. В клас­сич. М. а. объ­ек­та­ми изу­че­ния яв­ля­ют­ся пре­ж­де все­го функ­ции. Раз­ви­тие М. а. при­ве­ло к воз­мож­но­сти изу­че­ния с по­мо­щью его ме­то­дов бо­лее слож­ных объ­ек­тов, чем функ­ции, напр. функ­цио­на­лов и опе­ра­то­ров. В при­ро­де и тех­ни­ке всю­ду встре­ча­ют­ся дви­же­ния и про­цес­сы, ко­то­рые опи­сы­ва­ют­ся функ­ция­ми; за­ко­ны и яв­ле­ния при­ро­ды так­же опи­сы­ва­ют­ся функ­ция­ми. От­сю­да сле­ду­ет важ­ность М. а. как сред­ст­ва изу­че­ния функ­ций.

М. а. в ши­ро­ком по­ни­ма­нии это­го тер­ми­на ох­ва­ты­ва­ет весь­ма большyю часть ма­те­ма­ти­ки. В не­го вхо­дят диф­фе­рен­ци­аль­ное ис­чис­ле­ние, ин­те­граль­ное ис­чис­ле­ние, тео­рия функ­ций дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го, ком­плекс­ный ана­лиз, при­бли­же­ние функ­ций, тео­рия диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, тео­рия ин­те­граль­ных урав­не­ний, диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия, ва­риа­ци­он­ное ис­чис­ле­ние, функ­цио­наль­ный ана­лиз и не­ко­то­рые др. ма­те­ма­тич. дис­ци­п­ли­ны. Совр. чи­сел тео­рия и ве­ро­ят­но­стей тео­рия при­ме­ня­ют и раз­ви­ва­ют ме­то­ды М. а. Ино­гда тер­мин «М. а.» упот­реб­ля­ют толь­ко для ос­нов М. а., объ­е­ди­няю­щих в се­бе тео­рию дей­ст­ви­тель­ных чи­сел, тео­рию пре­де­лов, тео­рию ря­дов, диф­фе­рен­ци­аль­ное и ин­те­граль­ное ис­чис­ле­ние и их не­по­средств. при­ло­же­ния, та­кие как тео­рия мак­си­му­мов и ми­ни­му­мов, тео­рия не­яв­ных функ­ций, Фу­рье ря­ды, Фу­рье ин­те­гра­лы.

Функ­ция. В М. а. ис­хо­дят из оп­реде­ле­ния функ­ции, ко­то­рое в слу­чае чи­сло­вых функ­ций од­но­го пе­ре­мен­но­го фор­му­ли­ру­ет­ся сле­дую­щим об­ра­зом: ес­ли ка­ж­до­му чис­лу $x$ из не­ко­то­ро­го мно­же­ст­ва чи­сел по­став­ле­но в со­от­вет­ст­вие чис­ло $y$, то этим оп­ре­де­ле­на функ­ция $y=f(x)$ пе­ре­мен­но­го $x$, на­зы­вае­мо­го ар­гу­мен­том функ­ции. Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ют­ся функ­ции $n$ пе­ре­мен­ных $f(x) =f(x_1,x_2. x_n)$, где $x= (x_1,x_2. x_n)$ – точ­ки $n$-мер­но­го про­стран­ст­ва, рас­смат­ри­ва­ют так­же функ­ции $f(x)=f(x_1,x_2. )$ то­чек $x=(x_1,x_2. )$ бес­ко­неч­но­мер­ных про­странств, та­кие функ­ции ча­ще на­зы­ва­ют функ­цио­на­ла­ми.

Эле­мен­тар­ные функ­ции. Фун­дам. зна­че­ние в М. а. име­ют эле­мен­тар­ные функ­ции, ими, в ча­ст­но­сти, при­бли­жа­ют функ­ции бо­лее слож­ной при­ро­ды. Эле­мен­тар­ные функ­ции рас­смат­ри­ва­ют не толь­ко для дей­ст­ви­тель­ных, но и для компле́ксных ар­гу­мен­тов.

Дей­ст­ви­тель­ное чис­ло. Изу­че­ние функ­ций ба­зи­ру­ет­ся на по­ня­тии дей­ст­ви­тель­но­го чис­ла, ко­то­рое окон­ча­тель­но сфор­ми­ро­ва­лось в кон. 19 в. В ча­ст­но­сти, бы­ла ус­та­нов­ле­на ло­ги­че­ски безу­преч­ная связь ме­ж­ду чис­ла­ми и точ­ка­ми пря­мой, при­вед­шая к фор­маль­но­му обос­но­ва­нию идей Р. Де­кар­та (сер. 17 в.), ко­то­рый ввёл в ма­те­ма­ти­ку пря­мо­уголь­ную сис­те­му ко­ор­ди­нат (Де­кар­то­ва сис­те­ма ко­ор­ди­нат) и пред­став­ле­ние функ­ций гра­фи­ка­ми.

Пре­дел. В М. а. при изу­че­нии функ­ций ис­поль­зу­ет­ся пре­дель­ный пе­ре­ход, с по­мо­щью ко­то­ро­го оп­ре­де­ля­ют­ся разл. пре­де­лы, напр. пре­дел по­сле­до­ва­тель­но­сти и пре­дел функ­ции. Эти по­ня­тия окон­ча­тель­но сфор­ми­ро­ва­лись толь­ко в 19 в., хо­тя пред­став­ле­ние о них име­ли ещё древ­ние гре­ки. Так, Ар­хи­мед умел вы­чис­лять пло­щадь сег­мен­та па­ра­бо­лы при по­мо­щи про­цес­са, ко­то­рый сей­час на­зы­ва­ет­ся пре­дель­ным пе­ре­хо­дом.

Не­пре­рыв­ные функ­ции. Важ­ный класс функ­ций, изу­чае­мых в М. а., со­став­ля­ют не­пре­рыв­ные функ­ции. Од­но из воз­мож­ных оп­ре­де­ле­ний это­го по­ня­тия со­сто­ит в сле­дую­щем: функ­ция $y=f(x)$ од­но­го пе­ре­мен­но­го $x$, за­дан­ная на ин­тер­ва­ле $(a,b)$, на­зы­ва­ет­ся не­пре­рыв­ной в точ­ке $x$, $x∈(a,b)$, ес­ли $$\lim_<\Delta x \rightarrow 0>\Delta y = 0,$$

где $Δy=f(x+Δx)-f(x)$. Функ­ция на­зы­ва­ет­ся не­пре­рыв­ной на ин­тер­ва­ле $(a,b)$, ес­ли она не­пре­рыв­на во всех его точ­ках; гра­фик не­пре­рыв­ной функ­ции пред­став­ля­ет со­бой кри­вую, не­пре­рыв­ную в обы­ден­ном по­ни­ма­нии это­го сло­ва.

Про­из­вод­ная и диф­фе­рен­ци­ал. Сре­ди не­пре­рыв­ных функ­ций вы­де­ля­ют­ся функ­ции, имею­щие про­из­вод­ную. Про­из­вод­ная функ­ции $y=f(x)$, $a < x < b$, в точ­ке $x$ – это ско­рость из­ме­не­ния $f$ в точ­ке $x$, т. е. пре­дел

ес­ли он су­ще­ст­ву­ет, обо­зна­чае­мый обыч­но $f'(x)$. Ес­ли $y$ – ко­ор­ди­на­та в мо­мент вре­ме­ни $x$ точ­ки, дви­жу­щей­ся по оси ор­ди­нат, то $f'(x)$ – мгно­вен­ная ско­рость точ­ки при дан­ном зна­че­нии $x$.

По зна­ку про­из­вод­ной $f'(x)$ мож­но су­дить о ха­рак­те­ре из­ме­не­ния $f(x)$: ес­ли $f'(x) > 0$ (или $f'(x) < 0$) на ин­тер­ва­ле $(c,d)$, при­над­ле­жа­щем $(a,b)$, то функ­ция $f$ воз­рас­та­ет (со­от­вет­ст­вен­но, убы­ва­ет) на ин­тер­ва­ле $(c,d)$. Ес­ли функ­ция $f$ в точ­ке $x_0$, $a < x_0 < b$, дос­ти­га­ет экс­тре­му­ма (мак­си­му­ма или ми­ни­му­ма) и име­ет в этой точ­ке про­из­вод­ную, то $f'(x_0)=0$, ина­че го­во­ря, ско­рость из­ме­не­ния $f(x)$ при $x=x_0$ рав­на ну­лю.

Ра­вен­ст­во (1) мож­но за­ме­нить эк­ви­ва­лент­ным ра­вен­ст­вом $$\frac<\Delta y><\Delta x>=f'(x)+ \varepsilon (\Delta x),$$

где $ε(Δx)→0$ при $Δx→0$, т. е. $ε(Δx)$ есть бес­ко­неч­но ма­лая, ко­гда $Δx→0$. Т. о., ес­ли функ­ция $f$ име­ет про­из­вод­ную в точ­ке $x$, то при­ра­ще­ние $f$ в этой точ­ке мож­но пред­ста­вить в ви­де сум­мы двух сла­гае­мых. Пер­вое из них,

Читайте также:  Анализ предметно развивающей игровой среды группы

есть ли­ней­ная функ­ция от $Δx$ (про­пор­цио­наль­ная $Δx$), а вто­рое стре­мит­ся к ну­лю бы­ст­рее, чем $Δx$. Ве­ли­чи­на (2) на­зы­ва­ет­ся диф­фе­рен­циа­лом функ­ции, со­от­вет­ст­вую­щим при­ра­ще­нию $Δx$. При ма­лых $Δx$ мож­но счи­тать $Δy$ при­бли­жён­но рав­ным $dy$. При­ве­дён­ные рас­су­ж­де­ния о диф­фе­рен­циа­ле ха­рак­тер­ны для все­го М. а. Они рас­про­стра­ня­ют­ся на функ­ции мн. пе­ре­мен­ных и на функ­цио­на­лы.

Ин­те­грал. На­ря­ду с про­из­вод­ной, фун­дам. зна­че­ние в М. а. име­ет по­ня­тие ин­те­гра­ла. Го­во­рят, что функ­ция $F(x)$ яв­ля­ет­ся пер­во­об­раз­ной функ­ции $f(x)$ на ин­тер­ва­ле $(a,b)$, ес­ли на этом ин­тер­ва­ле $F'(x)=f(x)$. Не­оп­ре­де­лён­ным ин­те­гра­лом от функ­ции $f(x)$ на ин­тер­ва­ле $(a,b)$ на­зы­ва­ет­ся про­из­воль­ная пер­во­об­раз­ная функ­ции $f(x)$ на этом ин­тер­ва­ле. Его обо­зна­ча­ют $$\int f(x)dx.$$

Оп­ре­де­лён­ным ин­те­гра­лом (Ри­ма­на) от функ­ции $f$ на от­рез­ке $[a,b]$ на­зы­ва­ет­ся пре­дел

при $max_j(x_-x_j)→0$. Здесь

Этот пре­дел обо­зна­ча­ет­ся $$\int_^f(x)dx.$$

Ес­ли функ­ция $f(x)$ по­ло­жи­тель­на и не­пре­рыв­на на от­рез­ке $[a,b]$, то ин­те­грал от неё на этом от­рез­ке ра­вен пло­ща­ди фи­гу­ры, ог­ра­ни­чен­ной кри­вой $y=f(x)$, осью $Ox$ и пря­мы­ми $x=a$ и $x=b$. О су­ще­ст­во­ва­нии пре­де­ла (3) и о др. оп­ре­де­ле­ни­ях ин­те­гра­ла см. в ст. Ин­те­грал.

Фор­му­ла Нью­то­на – Лейб­ни­ца. Ме­ж­ду про­из­вод­ной и ин­те­гра­лом име­ет­ся связь, вы­ра­жае­мая фор­му­лой Нью­то­на – Лейб­ни­ца $$\int_^f(x)dx=F(b)-F(a).$$

Здесь $f(x)$ – не­пре­рыв­ная на $[a,b]$ функ­ция, а $F(x)$ – её пер­во­об­раз­ная.

Фор­му­ла и ряд Тей­ло­ра. На­ря­ду с про­из­вод­ной и ин­те­гра­лом важ­ней­шим по­ня­ти­ем и ин­ст­ру­мен­том ис­сле­до­ва­ния в М. а. яв­ля­ет­ся Тей­ло­ра фор­му­ла и Тей­ло­ра ряд. Ес­ли функ­ция $f(x)$, $a < x < b$, име­ет в не­ко­то­рой ок­ре­ст­но­сти точ­ки $x_0$, $a < x_0 < b$, не­пре­рыв­ные про­из­вод­ные до по­ряд­ка $n$ вклю­чи­тель­но, то её мож­но при­бли­зить в этой ок­ре­ст­но­сти мно­го­чле­ном по сте­пе­ням $x-x_0$ $$P_n(x)=f(x_0)+\frac<1!>(x-x_0)+. +\frac(x_0)>(x-x_0)^n,$$

на­зы­вае­мым её мно­го­чле­ном Тей­ло­ра (сте­пе­ни $n$), т. е.

(фор­му­ла Тей­ло­ра). При этом ошиб­ка при­бли­же­ния

стре­мит­ся к ну­лю при $x→x_0$ бы­ст­рее, чем $(x-x_0)^n$. Т. о., функ­ция $f(x)$ в ок­ре­ст­но­сти точ­ки $x_0$ мо­жет быть при­бли­же­на весь­ма про­стой функ­ци­ей (мно­го­чле­ном), для вы­чис­ле­ния ко­то­рой тре­бу­ют­ся толь­ко ариф­ме­тич. опе­ра­ции.

Осо­бо важ­ны­ми яв­ля­ют­ся функ­ции, имею­щие про­из­вод­ные всех по­ряд­ков в ок­ре­ст­но­сти точ­ки $x_0$ та­кие, что для них в этой ок­ре­ст­но­сти $R_n(x)→ 0$ при $n→∞$. Они мо­гут быть пред­став­ле­ны в ви­де бес­ко­неч­но­го сте­пен­но­го ря­да Тей­ло­ра $$f(x)=f(x_0)+\frac<1!>(x-x_0)+. +\frac(x_0)>(x-x_0)^n+. $$

Раз­ло­же­ния Тей­ло­ра при оп­ре­де­лён­ных ус­ло­ви­ях воз­мож­ны и для функ­ций мн. пе­ре­мен­ных, а так­же для функ­цио­на­лов и опе­ра­то­ров.

Историческая справка

До 17 в. М. а. пред­став­лял со­бой со­во­куп­ность ре­ше­ний раз­роз­нен­ных ча­ст­ных за­дач. Напр., в ин­те­граль­ном ис­чис­ле­нии – это за­да­чи на вы­чис­ле­ние пло­ща­дей фи­гур, объ­ё­мов тел с кри­вы­ми гра­ни­ца­ми, ра­бо­ты пе­ре­мен­ной си­лы и т. д. Ка­ж­дая за­да­ча или ча­ст­ная груп­па за­дач ре­ша­лась сво­им ме­то­дом, под­час слож­ным и гро­мозд­ким. М. а. как еди­ное и сис­те­ма­тич. це­лое сло­жил­ся в тру­дах И. Нью­то­на, Г. В. Лейб­ни­ца, Л. Эй­ле­ра, Ж. Ла­гран­жа и др. учё­ных 17–18 вв., а его ба­за – тео­рия пре­де­лов – бы­ла раз­ра­бо­та­на О. Ко­ши в нач. 19 в. Глу­бо­кий ана­лиз ис­ход­ных по­ня­тий М. а. был свя­зан с раз­ви­ти­ем в 19–20 вв. мно­жеств тео­рии, тео­рии ме­ры, тео­рии функ­ций дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го и при­вёл к раз­но­об­раз­ным обоб­ще­ни­ям.

Источник

Высшая математика. Основы математического анализа. Геворкян П.С.

Настоящая книга охватывает вопросы, касающиеся основ математического анализа, которые изучаются в рамках курса «Высшая математика» в высших учебных заведениях. Она содержит следующие разделы математического анализа: пределы и непрерывность функций, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, дифференциальное исчисление функций многих переменных. Приведены некоторые предварительные сведения из теории множеств и введено понятие действительного числа. Рассмотрены основные понятия теории комплексных чисел. Для студентов инженерно-технических и экономических специальностей вузов, а также для изучающих в том или ином объеме высшую математику.

Формат: pdf

Размер: 1,4 Мб

Смотреть, скачать: drive.google

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 8
Глава 1. Введение 9
§ 1.1. Множества. Операции над множествами 9
§ 1.2. Действительные числа 11
§ 1.3. Числовые промежутки. Окрестность точки 14
Глава 2. Предел последовательности 15
§ 2.1. Понятие предела последовательности 15
§ 2.2. Свойства сходящихся последовательностей 17
§ 2.3. Предельный переход в неравенствах 18
§ 2.4. Арифметические действия с пределами 19
§ 2.5. Монотонные последовательности 21
§ 2.6. Число е 21
Глава 3. Функции 24
§ 3.1. Понятие функции и способы ее задания 24
§ 3.2. Арифметические действия над функциями. Сложная и обратная функции 25
§ 3.3. Основные элементарные функции и их графики 27
Глава 4. Предел функции 30
§ 4.1. Понятие предела функции 30
§ 4.2. Односторонние пределы 33
§ 4.3. Основные теоремы о пределах функций 34
§ 4.4. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел 36
§ 4.5. Монотонные функции. Теорема о пределе монотонной функции 37
§4.6. Теоремы о предельных переходах в неравенствах 38
§4.7. Первый замечательный предел 40
§4.8. Второй замечательный предел 41
§4.9. Бесконечно малые функции. Основные свойства 43
§4.10. Бесконечно большие функции 46
§4.11. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями 47
§4.12. Сравнение бесконечно малых функций 48
§4.13. Эквивалентные бесконечно малые функции 50
Глава 5. Непрерывность функции 54
§5.1. Понятие непрерывности функции 54
§ 5.2. Арифметические операции над непрерывными функциями 56
§5.3. Непрерывность сложной функции 56
§5.4. Точки разрыва функции и их классификация 57
§ 5.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке 58
Глава 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 61
§6.1. Понятие производной 61
§ 6.2.Геометрическая интерпретация производной. Касательная к графику функции 62
§ 6.3. Физическая интерпретация производной 63
§ 6.4. Необходимое условие существования производной 64
§ 6.5. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций 65
§6.6. Дифференцирование сложной функции 67
§6.7. Теорема о существовании обратной функции. Дифференцирование обратной функции 68
§ 6.8. Производные основных элементарных функций 69
§6.9. Гиперболические функции и их производные 73
§ 6.10. Таблица производных 75
§ 6.11. Дифференцирование параметрически заданных функций 76
§6.12. Логарифмическое дифференцирование. Производная степенно-показательной функции 77
§6.13. Понятие дифференцируемости функции 78
§6.14. Понятие дифференциала функции 79
§6.15. Геометрический смысл дифференциала функции 80
§6.16. Инвариантность формы первого дифференциала 81
§ 6.17. Дифференциал суммы, разности, произведения и частного функций 82
§6.18. Таблица дифференциалов 82
§6.19. Производные высших порядков 83
§6.20. Дифференциалы высших порядков 85
§ 6.21. Основные теоремы дифференциального исчисления 87
§ 6.22. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя 90
§ 6.23. Формула Тейлора 94
§6.24. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано 96
§6.25. Формула Маклорена некоторых элементарных функций 98
§ 6.26. Условия возрастания и убывания функций 99
§ 6.27. Экстремумы функций 101
§6.28. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 104
§6.29. Направление выпуклости графика функции 106
§6.30. Точки перегиба графика функции 107
§ 6.31. Асимптоты графика функции 108
§6.32. Общая схема исследования функций и построение графиков 111
Глава 7. Комплексные числа 114
§7.1. Понятие комплексного числа. Арифметические действия с комплексными числами 114
§7.2. Алгебраическая форма записи комплексного числа. 115
§ 7.3. Тригонометрическая форма комплексного числа 117
§7.4. Показательная форма комплексного числа 120
§7.5. Извлечение корней из комплексных чисел 122
Глава 8. Неопределенный интеграл 125
§8.1. Понятия первообразной функции и неопределенного интеграла 125
§ 8.2. Основные свойства неопределенного интеграла 127
§8.3. Таблица основных неопределенных интегралов 129
§8.4. Замена переменной в неопределенном интеграле 130
§8.5. Метод интегрирования по частям 133
§ 8.6. Алгебраические многочлены 135
§ 8.7. Рациональные функции. Разложение на простейшие дроби 138
§8.8. Интегрирование рациональных дробей 142
§ 8.9. Универсальная тригонометрическая подстановка 146
§8.10. Вычисление интегралов типа sinm xcos™ x dx 149
§ 8.11. Интегрирование выражений с помощью тригонометрических преобразований 151
§ 8.12. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей 151
§8.13. Интегрирование биномиальных дифференциалов 153
§8.14. Интегрирование квадратичных иррациональностей. 154
Глава 9. Определенный интеграл 156
§9.1. Понятие определенного интеграла 156
§ 9.2. Необходимое условие интегрируемости. Классы интегрируемых функций 157
§ 9.3. Геометрический смысл определенного интеграла 159
§ 9.4. Основные свойства определенного интеграла 160
§ 9.5. Формула Ньютона-Лейбница 164
§9.6. Замена переменной в определенном интеграле 166
§9.7. Интегрирование по частям в определенном интеграле. . 167
§9.8. Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования (несобственный интеграл первого рода) . . 169
§ 9.9. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Теоремы сравнения 171
§ 9.10. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы 175
§ 9.11. Несобственный интеграл от неограниченной функции (несобственный интеграл второго рода) 177
§ 9.12. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных координатах 181
§9.13. Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах 182
§ 9.14. Вычисление длины дуги кривой 185
§9.15. Вычисление объема тела 190
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций многих переменных 194
§ 10.1. Понятие функции многих переменных 194
§ 10.2. Открытые множества 196
§ 10.3. Предел функции двух переменных 197
§ 10.4. Непрерывность функции двух переменных 200
§ 10.5. Частные производные 202
§ 10.6. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных 203
§ 10.7. Дифференцируемые функции 206
§ 10.8. Дифференциал функции. Правила дифференцирования 208
§ 10.9. Дифференциалы высших порядков 210
§ 10.10. Производная сложной функции 210
§ 10.11. Инвариантность формы первого дифференциала 212
§ 10.12. Производная по направлению 212
§ 10.13. Градиент 214
§ 10.14. Формула Тейлора 215
§ 10.15. Неявные функции. Теорема о существовании неявной функции 217
§ 10.16. Касательная плоскость. Нормаль к поверхности 221
§ 10.17. Экстремумы. Необходимое условие экстремума 224
§ 10.18. Достаточное условие экстремума 226
§ 10.19. Условный (относительный) экстремум 228
§ 10.20. Наибольшее и наименьшее значения функции 232
Предметный указатель 235

Читайте также:  Алые паруса анализ сюжета

Настоящая книга охватывает вопросы, касающиеся основ математического анализа, которые изучаются в рамках курса «Высшая математика» для различных специальностей высших учебных заведений.
При написании книги автор стремился соблюдать ставший традиционным порядок изложения курса лекций по высшей математике, а также старался излагать материал на доступном и строгом математическом языке.

О том, как читать книги в форматах pdf , djvu — см. раздел " Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др. "

Источник

Учебники. Математический анализ.

Добрый день 🙂
Я живу на этой планете почти 21 год, заканчиваю бакалавриат физтеха МИФИ и уже долгое время занимаюсь репетиторством.

Продолжаю тему учебников для института. В этом посте рассмотрю более подробно математический анализ. 1 курс.

Первый человек в матанализе, с которым должен познакомиться каждый первокурсник — Борис Павлович Демидович.
Его задачник(https://drive.google.com/file/d/1UXYijBUL9cxwvGn-158HidKf3uc. ) был переведен на множество языков и используется повсеместно.
В нем рассмотрены практический все задачи, которые вообще могут пригодиться учащимся — углубленное дифференцирование и интегрирование (в том числе и от нескольких переменных), подробное рассмотрение пределов и рядов. Одним словом — огромный торт применения матана. Четырьмя словами.
Есть решебник. Насколько я понял, вконтакте есть и русская версия, но ее я никогда не трогал. В китайском подглядывали несколько сумасшедших задач — получалось все правильно.

Вторые два имени — Лев Дмитриевич Кудрявцев (https://alleng.org/d/math/math98.htm) и товарищ Фихтенгольц(https://nashol.com/2017052594676/osnovi-matematicheskogo-ana. ). Их многотомники по теории математического анализа я считаю максимально полезными для изучения предмета, они примерно одинаково удобоваримы и понятны. Но лучше и лекции не прогуливать, конечно 🙂

1) Введение в матанализ.
Первое, с чем сталкиваются учащиеся — кванторы и различная новая символика. На этих символах построена вся база определений — кванторы упрощают записи слов. Здесь советы особо не требуются — для понимания предмета кванторы нужно знать, все знаки в задачах и определениях также нужно знать и понимать отличие между эпсилон-окрестностью и проколотой эпсилон-окрестностью. Вопрос простой, а незнание может привести к неприятностям.
Наверняка у многих будут всякие разные коллоквиумы, поэтому с пониманием темы рекомендую не затягивать. Матан — наука, требующая перестройки ума, а на это необходимо время. Разбирайтесь!

2) Пределы.
«Что?! На ноль делить можно?»
Пределы — тема вечная. Что к чему стремится и каким образом это достигается. Сначала студентов долго мурыжат огромными пределами, заставляя упрощать или сводить к Замечательным пределам, затем страдающему дают — О, чудо! — правило Лопиталя. И все, студент неуязвим.
В этом разделе важно уметь видеть Замечательные пределы, которые часто не очевидны, чтобы не наделать ошибок, и очень важно знать и понимать определение предела по Коши — с помощью него дается понимание самого предела. Когда это определение станет понятно, то в голове сразу заиграет «елки-палки, да это же очевидно!».
Вообще Коши — один из моих кумиров. Этот человек сделал столько для науки, сколько сейчас не делает весь мир.
Помимо Демидовича я бы советовал порешать пределы у Бермана(https://www.google.ru/url?sa=t&amp;rct=j&amp;q=&amp;esrc=s&a. ). У него есть и интересные пределы, и интересные вопросы — без знаний уйти не удастся. В то же время у него есть очень простые задачки, чтобы влиться.
И помните — на ноль делить можно только в пределе.

3) Производная и дифференцирование.
После пределов через появляется дифференцирование — одновременное изобретение Ньютона и Лейбница, которое они делили до конца жизни (https://ru.wikipedia.org/wiki/Спор_Ньютона_и_Лейбница_о_прио. ).
Производная — это счастье. Например, многие интегралы берутся очень сложно или даже не берутся вообще — производную можно взять всегда, поэтому самое важное — быть очень аккуратным и учить таблицу производных. И решать, решать, решать, брать километровые производные, чтобы в будущем применять и не сомневаться (применять придется много).
Если ничего не путаю, здесь же появится вишенка на торт дифференцирования — формула Тейлора. Эта вещь спасает жизнь, когда, казалось бы, проще умереть, чем решить. Используется довольно часто.
Кстати, применять приближения Тейлора начинают еще с пределов, но там это сведено до сухой сути типа tgx

x.
Остаточный член — не игрушка. Не отбрасывайте!

4) Интегрирование.
Решить задачу с анизотропностью? Найти объем банана? Все возможно, если с вами интеграл!
Интегрирование — вещь темная. Если сходу видно как можно взять интеграл — счастливый случай. В большинстве случаев придется крутить интеграл вокруг да около или искать иные методы, которых очень много.
Что важно — перестроить голову после дифференцирования (на sin и cos особенно путаются) и учить таблицу и методы. Чем больше методов знает учащийся, тем ему проще (но это ни в коем случае не делает его умнее).

Помню, на первом курсе писали контрольную по интегралам. Мне остался один, но я забыл к нему метод. Я крутил-вертел его полчаса на двух листах, но взял! Преподаватель тогда мне слегка занизил балл за это извращение, но это все равно была победа. Желаю всем своих собственных побед 🙂

Здесь же появится великолепная теорема о среднем, которая спасет некоторых от интеграла Пуассона при решении физических задач (но не всех).
В 3 и 4 пункте советую также книгу Фихтенгольца «Дифференциальное и интегральное счисление».

Читайте также:  Общий анализ крови hgb 147

Когда начнется выяснение сходимости, нужно быть таким же аккуратным, как и при вычислении предела. Чем больше признаков сходимости знает учащийся — тем ему проще в той или иной задаче. Но в особо высокие мотивы уходить тоже не надо.
Все эти признаки будут рассказаны. Я хочу обратить внимание на признак Ермакова — он так и не был доказан, хотя вроде бы работает и в некоторых изощренных случаях вполне упрощает жизнь. Страждущему уму рекомендую обратить внимание.
Из постоянно используемых методов рекомендую обратить внимание на признак Абеля — он очень красив, на мой взгляд.

И не забывайте про константу интегрирования! 🙂

Рискну посоветовать обратить внимание на сайты, где за Вас программа возьмет интеграл. Злоупотреблять не надо, но проверять себя можно. А если студент начнет осваивать великий Маткад — ууу.

5) Ряды.
В жизни практически любого ученого нельзя убежать от двух фамилий — Коши и Фурье. И именно ряды Фурье повсеместно встречаются.
При изучении рядов очень пригодится повторение формулы по нахождению суммы бесконечно убывающего ряда.
Ряды — вещь простая и приятная. Обратите внимание, для каждого ряда есть свой признак, не нужно смешивать (я про знакопеременные или знакопостоянные ряды, например).

Плюс к задачнику Бермана смею порекомендовать также задачник Гюнтера — https://www.studmed.ru/gyunter-nm-kuzmin-ro-sbornik-zadach-p.
У него есть и матан, и диффуры, и немножко ангема и даже кусочек физики. Абсолютно адекватный задачник без лишних изысков или чрезмерной простоты.

Далее у кого-то начнется теория поля (градиент, ротор, дивергенция), у кого-то теория групп(гомоморфизм), но это уже совсем другая история 🙂

В матане главное очень много решать, набивать руку, чтобы в дальнейшем выполнять большую часть операций на автомате, не тратя лишних сил. Для этого нужно взять сто интегралов, посчитать сто производных и доказать сходимость ста рядов. 🙂

В конце хочется дать очень простой совет — разбирайтесь. Не отвечайте по принципу «потому что Танька так сказала» или «не знаю, у меня так записано». Каждая операция и каждый символ должен быть на своем месте и с конкретной целью. Иначе обучение пройдет мучительно и абсолютно бестолково.

Источник

Математика для чайников. Глава 9. Основы матанализа

Многих матанализ пугает. Но на самом деле, если вы понимаете, что такое математическая абстракция, то матанализа не стоит бояться. Математический анализ – это просто набор абстракций чуть более высоко уровня, чем алгебра. Ну а если понятие математической абстракции вам незнакомо, можете прочесть предыдущие урок, начиная с Математика для чайников. Глава 1. Что такое математическая абстракция .

Итак, прежде всего, давайте ответим на вопрос: А что же такое, математический анализ? А узком смысле слова математический анализ – это анализ бесконечно малых величин. В такой анализ входят, как правило, дифференциальные и интегральные исчисления. В более широком смысле, кроме дифференциалов и интегралов, в математический анализ входит:

· Теория функций. Это о том, что такое функция вообще (точное определение), какие бывают функции, что вообще можно делать с функциями, различные свойства функций, способы приближенного вычисления функций и многое другое.

· Теория комплексной переменной. По сути, это та же теория функций, но связанная с комплексными числами. Комплексное число – это число, состоящее из «нормального» числа и мнимой единицы, умноженной на некий коэффициент. А мнимая единица – это корень из минус единицы, которого как бы не существует, но он на самом деле существует.

· Функциональный анализ. Это, по сути теория функций, но скрещенная с топологией. То есть туда добавлены такие понятия, как «пространство». Данный раздел математики изучает поведение и взаимоотношения функций в различных пространствах, плюс всякие линейные операторы и прочее тому подобное.

· Вариационное исчисление. Объект изучения этого раздела так называемые «вариации функционалов». Что это такое? Это обобщенное понятие дифференциала функции. Дифференциал – это, по сути, бесконечно малая часть приращения функции. С ним тесно связано понятие производной – скорости изменения функции. Для чего все это нужно? Чтобы найти экстремумы функции – ее минимумы и максимумы. А для чего их искать? Это нужно в задачах оптимизации. Например, в задачах искусственного интеллекта и машинного обучения необходимо найти минимум ошибки.

· Гармоничный анализ. Здесь задача сводиться к исследованию гармонических функций (синусоида, например). Это про ряды Фурье и прочее тому подобное.

· Дифференциальные и интегральные уравнения. Дифференциальное уравнение – это уравнение, в котором фигурирует производная или дифференциал. Их решение сводиться к тому, чтобы преобразовать уравнения так, чтобы его можно было проинтегрировать. Ну а дальше решаем интеграл и получаем ответ. А интеграл – это сумма бесконечно малых кусочков функции, если говорить простыми словами, ну или площадь фигуры которую «вырезает» график функции. Нетрудно догадаться, что интегральные уравнения – это уравнения, где есть интеграл. А вот как решать такие уравнения – целая наука. Существует много методик, например, преобразование Лапласса.

· Теория динамических систем. Это наука о том, как изменяются во времени различные системы с взаимосвязанными элементами, особенно механические системы. Как правило, для решения таких задач как раз и используют дифференциальные уравнения.

· Эргодическая теория. Здесь можно заметить, что динамические системы с определенной вероятностью повторяют свои состояния. Такое их свойство называют эргодичностью.

· Глобальный анализ. А вот это очень абстрактная абстракция. Гораздо абстрактнее, чем дифференциальные и интегральные уравнения, ибо в глобальном анализе они представлены на многообразиях пространств и векторных расстояниях.

· Нестандартный анализ. Это альтернативная теория, в которой бесконечно малые величины – это ни какие не переменные, а особый вид чисел. Считается, что нестандартный анализ способен изучать свойства актуально бесконечных объектов, предлагая новые методы моделирования, недоступные стандартной математике.

Ну, а теперь вернемся к основам математического анализа. Начнем с функций . Классическое определение гласит, что функция – это соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу второго множества соответствует один и только одни элемент из второго множества. Что такое множество, вы может узнать здесь: Математика для чайников. Глава 7. Множества . Обычно эти множества – это множества действительных чисел (но не всегда). Функция может быть и комплексная, и векторная, и даже матричная. А вообще соответствие (функцию) можно задать на любых множествах, даже самых экзотических.

Но мы с вами поговорим о числовых функциях. В данном случае это будет просто соответствие одних чисел (аргументов) другим числам (значениям). Множество аргументов называется областью определения функции, а множество значению – областью значений функции. Функцию можно задать в виде таблицы, в виде графика, в виде формулы или в виде какого-то правила. Обычно математический анализ имеет дело с функцией, заданной в виде формулы.

Другой объект, немного похожий на функции, и который тоже может встретится в матанализе — это числовая последовательность . Классическое определение последовательности такое: последовательность — это пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение. Нумерация чаще всего происходит натуральными числами. Соответственно, в случае числовой последовательности такими объектами являться числа. Есть еще строго определение. Оно звучит так: пусть задано некоторое множество X элементов произвольной природы.

Источник

Adblock
detector