Что такое регрессионный анализ?

Научитесь выстраивать процессы для роста бизнеса и увеличения прибыли.

Регрессионный анализ — это набор статистических методов оценки отношений между переменными. Его можно использовать для оценки степени взаимосвязи между переменными и для моделирования будущей зависимости. По сути, регрессионные методы показывают, как по изменениям «независимых переменных» можно зафиксировать изменение «зависимой переменной».

Зависимую переменную в бизнесе называют предиктором (характеристика, за изменением которой наблюдают). Это может быть уровень продаж, риски, ценообразование, производительность и так далее. Независимые переменные — те, которые могут объяснять поведение выше приведенных факторов (время года, покупательная способность населения, место продаж и многое другое).

Регрессионный анализ включает несколько моделей. Наиболее распространенные из них: линейная, мультилинейная (или множественная линейная) и нелинейная.

Как видно из названий, модели отличаются типом зависимости переменных: линейная описывается линейной функцией; мультилинейная также представляет линейную функцию, но в нее входит больше параметров (независимых переменных); нелинейная модель — та, в которой экспериментальные данные характеризуются функцией, являющейся нелинейной (показательной, логарифмической, тригонометрической и так далее).

Чаще всего используются простые линейные и мультилинейные модели.

Регрессионный анализ предлагает множество приложений в различных дисциплинах, включая финансы. Кстати, регрессионный анализ можно проводить с помощью языка R. Сделать первые шаги в освоении этого языка поможет наш открытый курс « Аналитика с SQL и R ».

Рассмотрим поподробнее принципы построения и адаптации результатов метода.

Предположения линейной модели

Линейный регрессионный анализ основан на шести фундаментальных предположениях:

1. Переменные показывают линейную зависимость;
2. Независимая переменная не случайна;
3. Значение невязки (ошибки) равно нулю;
4. Значение невязки постоянно для всех наблюдений;
5. Значение невязки не коррелирует по всем наблюдениям;
6. Остаточные значения подчиняются нормальному распределению.

Построение простой линейной регрессии

Простая линейная модель выражается с помощью следующего уравнения:

Y = a + bX

• Y — зависимая переменная
• X — независимая переменная (объясняющая)
• а – свободный член (сдвиг по оси OY)
• b – угловой коэффициент. Он указывает на поведение кривой (убывает или возрастает, угол между с осью)

a и b называют коэффициентами линейной регрессии. В их нахождении и заключается основная задача.

Если в нашей задаче присутствуют несколько факторов: x₁, x₂, x₃, от которых, мы полагаем, зависит y, то нужно использовать множественную регрессию, описываемую уравнением:

Существует много способов определить коэффициенты a и b. Но самым простым и надежным является метод наименьших квадратов (можно научно доказать, что это лучший способ).

Идея метода: мы имеем значения y – числовой ряд или набор данных. Необходимо построить функцию регрессии Y=a + bX так, чтобы выражение (Y – y) 2 было минимальным. (Y – y) 2 – ошибка, которую мы хотим минимизировать. Минимизируется функционал благодаря подбору коэффициентов a и b.

Рис. 3. Линия линейной регрессии.
Пунктиром изображено расстояние y – Y для каждой точки.

Ключевым фактором применения любой статистической модели является правильное понимание предметной области и ее бизнес-приложения.

Линейная регрессия — это довольно простой, но мощный инструмент, который может существенно облегчить работу аналитика при изучении поведения потребителей; факторов, влияющих на производительность и окупаемость; улучшит понимание бизнес процессов в целом.

Примеры использования линейной регрессии

Прогнозирование показателей

Данную модель можно использовать для обнаружения тенденций и составления прогнозов. Предположим, продажи компании росли на протяжении двух лет. Путем проведения линейного анализа данных о ежемесячных продажах компания могла бы спрогнозировать продажи в будущие месяцы.

Оценка эффективности маркетинга

Линейная регрессия также может использоваться для оценки эффективности маркетинга, рекламных кампаний и ценообразования. Чтобы компания «XYZ» оценила качественную отдачу от средств, потраченных на маркетинг определенного бренда, достаточно построить график линейной регрессии и посмотреть, как связаны затраты с прибылью.

Прелесть линейной регрессии в том, что она позволяет улавливать отдельные воздействия каждой маркетинговой кампании, а также контролировать факторы, которые могут повлиять на продажи.

В реальных сценариях обычно существует несколько рекламных кампаний, которые проводятся в один и тот же период времени. Предположим, что две кампании запускаются на телевидении и радио параллельно. Построенная модель может уловить как изолированное, так и комбинированное влияние одновременного показа этой рекламы.

Оценка риска

Модель линейной регрессии хорошо работает для расчета рисков в сфере финансов или страхования. К примеру, компания по страхованию автомобилей может построить линейную регрессию, чтобы составить таблицу выплат по страховке, используя отношение прогнозируемых исков к заявленной страховой стоимости. Основными факторами в такой ситуации являются характеристики автомобиля, данные о водителе или демографическая информация. Результаты такого анализа помогут в принятии важных деловых решений.

Обнаружение важных факторов

В индустрии кредитования финансовая компания заинтересована в минимизации рисков. Поэтому ей важно понять пять основных факторов, вызывающих неплатежеспособность клиента. На основе результатов регрессионного анализа компания могла бы выявить эти факторы и определить варианты EMI (Equated Monthly Installment – фиксированный платеж, произведенный заемщиком кредитору в течение оговоренного срока), чтобы минимизировать дефолт среди сомнительных клиентов.

Ценообразование активов

Еще модель линейной регрессии находит свое применение в ценообразовании активов. «Модель оценки долгосрочных активов» описывает связь между ожидаемой доходностью и риском инвестирования в ценную бумагу. Это помогает инвесторам оценивать целесообразность инвестиций и доходность их портфеля.

Вывод

Несмотря на то, что линейная регрессия имеет довольно жесткие ограничения, поскольку она может работать только тогда, когда зависимая переменная имеет непрерывный характер и имеется линейная зависимость между переменными, модель является самым известным методом анализа и прогнозирования.

Мы привели самые популярные примеры использования данной модели в бизнесе и финансах. Естественно, чтобы глубоко понять, как его использовать в той или иной ситуации, нужно погрузиться в метод поподробнее – самостоятельно «пощупать» все его слабые и сильные стороны; посмотреть, как модель ведет себя на уникальных данных и так далее. Это очень интересный и важный процесс – именно поэтому индустрия Data Science сейчас находится на таком подъеме!

Источник

Регрессионный анализ — основы, этапы и примеры задач

Метод моделирования пар данных и исследования их свойств представляет собой раздел математической статистики, который используют для выявления статистических закономерностей, объединяющих ряд величин. При этом некоторые данные являются случайными. Анализируя зависимости, исследователь может построить модель регрессии.

Полученные данные — основа регрессионного анализа и база для дальнейшего изучения, которое основывается на том, что между числами всегда существуют известные или скрытые связи. Первые получаются путём вычислений с помощью формул, а вторые необходимо прогнозировать и объяснять, иначе не получится изменять их так, как нужно для решения различных задач. Корреляционно-регрессионный анализ позволяет обнаружить скрытые зависимости и представить их в виде математических выражений. Цели, для которых используются формулы:

• управление;
• предсказание;
• объяснение.

С помощью аналитики выводят коэффициент корреляции, который означает силу связей. Чем она существеннее, тем легче создать регрессионную модель. В статистике этот метод является основным. Этапы регрессионного анализа располагаются в таком порядке:

• собирают данные;
• подвергают их предварительной обработке;
• выбирают вид уравнения;
• рассчитывают коэффициент;
• строят функцию;
• проверяют правильность расчётом с помощью наблюдений.

Метод проведения

В теории описать уравнение регрессии можно только при условии, что известен закон, по которому распределяются результативные значения функции y при заданных параметрах аргумента x. На практике учёные не располагают знанием такой закономерности, поэтому приходится подбирать подходящие варианты аппроксимаций (близких значений) для неизвестной функции.

Взаимоотношение между истинной функцией, модельной регрессией и её оценкой можно рассмотреть на примере. Для этого нужно сделать допущение. Пусть показатель и аргумент связаны следующим образом: у=2х 1,5+o. В этой формуле o представляет собой случайное значение величины, распределяемой в соответствии с нормальным законом. Необходимо сделать ещё 2 допущения: d o- o 2 и M o= 0.

Тогда уравнение, описывающее функцию регрессии, примет такой вид: f (х) = М (у/х) = 2х i 1,5+ o. Чтобы при наличии исходных данных получить максимально точные значения функции регрессии и результирующего показателя, используют метод наименьших квадратов. При вычислениях минимизируют квадрат величины, на которую результативное значение отклоняется от модельного. Получают такое выражение: o (y i) — f (х i)2 > min. Это среднеквадратичная регрессия.

Дальнейшие действия проводят с использованием метода наименьших модулей. Получают следующее выражение: y-f (xj) — min. Оно описывает медианную регрессию.

Работа в таблицах Ms Excel

В информатике анализ данных позволяет разрабатывать и исследовать алгоритмы и методы, с помощью которых добывается информация из сведений, полученных экспериментальным путём. Исследования удобно проводить в Ms Excel, однако нужно учитывать, что работать в режиме онлайн с этим приложением не получится. Средства, которые можно использовать для анализа с помощью этого инструмента:

• построение сводных таблиц;
• объединение данных;
• частичное и полное суммирование;
• подведение итогов в автоматическом режиме;
• структуризация данных, представленных на отдельных листах;
• проверка значений в книгах и листах на ошибки;
• применение карт;
• создание диаграмм;
• обработка значений с использованием функций и формул;
• выборочный анализ разными способами, включая сценарии, поиск решения, выбор параметра и другие.

Инструменты, встроенные в Microsoft Excel, позволяют решать инженерные и статистические задачи высокого уровня сложности. Чтобы выполнить анализ, указывают входные данные и задают нужные параметры. Программа анализирует значения, применяя ту макрофункцию, которая подходит в этой ситуации. Результаты отображаются в специальных ячейках. Затем, применяя другие инструменты, данные можно вывести в виде графиков или диаграмм.

Графический вид удобен тем, что позволяет быстро обнаружить ошибки: они отображаются как нетипичные отклонения кривых. В таблицах найти неточности бывает сложно, так как списки бывают довольно большими. Кроме того, графики дают возможность не только проиллюстрировать информацию, но и проконтролировать корректность исходных данных. В некоторых случаях только графическое отображение позволяет правильно интерпретировать, обобщить и проанализировать информацию.

Множественный анализ

Общее назначение этого метода состоит в том, чтобы определить, как изменяется зависимая переменная, когда на неё воздействуют несколько факторов. Это легко понять на примере. Цена товара изменяется, подвергаясь влиянию ряда индикаторов. В виде равенства это можно представить так: изменение цены = a * RSI + b * MACD + с. Выражение будет корректным только в том случае, если между независимым и зависимыми значениями есть корреляция.

Компоненты выражения связаны между собой, поэтому при удалении одного значение остальных может измениться. Коэффициенты a и b применяются для демонстрации вклада каждого независимого значения.

Уравнение показывает, как взаимодействуют его части в идеале. На практике реальные показатели отличаются от прогнозируемых, а разницу между ними именуют остатком. С помощью множественного анализа исследуют количественные показатели, причём их может быть сколько угодно. Для определения и изучения качественных значений, у которых нет переходных параметров, применяют другие инструменты.

Этапы и виды

Множественный анализ выполняют в несколько этапов. Сначала формулируют задачу и разрабатывают гипотезы с учётом специфики анализируемых явлений. Дальнейшая работа ведётся в таком порядке:

• Определяют объясняющие и зависимые переменные.
• Собирают статистическую информацию отдельно для каждого компонента, участвующего в анализе.
• Формулируют гипотезу, допускающую, какой будет связь: линейной, множественной, простой, нелинейной.
• Рассчитывают числовые значения для тех компонентов уравнения, относительно которых это возможно.
• Оценивают степень точности анализа.
• Выполняют интерпретацию результатов и сравнивают их с гипотезой. Оценивают, насколько полученные значения являются правдоподобными и корректными.
• Прогнозируют, какие значения может принимать зависимый компонент.

Метод регрессионного анализа позволяет не только прогнозировать величины, но и классифицировать их. Предполагаемые значения вычисляются так: в уравнение на место независимых переменных подставляются числовые параметры, которые заведомо известны.

Классификация результатов

Для классификации результатов проводят линию регрессии. Она разделяет множество на 2 части: в одной находятся значения, которые больше нуля, в другой — меньше. Так данные на шкале распределяются по 2 классам. В свою очередь, регрессия подразделяется на несколько видов:

• Парная. Так называется регрессия, в которой, наряду с незначимыми, есть доминирующий фактор x. Пример регрессионного анализа: в каждом регионе есть некоторое количество занятых людей (x) и собирается некоторая сумма налогов (y). Y зависит от доминирующего компонента x. Присутствуют и другие факторы, но их значимость гораздо ниже.
• Обратная. Она заключается в том, что сначала составляют максимально полное уравнение, а затем последовательно исключают из него отдельные члены, каждый раз оценивая, насколько уменьшилась остаточная дисперсия. В итоговом уравнении останутся только те компоненты, которые оказали наиболее весомый вклад на её уменьшение.
• Нелинейная. Этот вид анализа применяется, когда зависимость одной переменной от других не является линейной. Пример: засолённость почвы до определённого предела не оказывает влияния на урожайность культур. После достижения определённых значений это влияние начинает проявляться нелинейно. Зависимость можно представить в виде функции. Их существует несколько видов: показательные, логарифмические, тригонометрические, степенные, гауссова и кривые Лоренца.
• Множественная. Бывает необходима, когда нужно рассчитать влияние множества независимых переменных на результативный признак. При этом присутствует фактор E — стохастический параметр, включающий влияние неучтённых компонентов.
• Линейная. Используется для анализа эластичности спроса, прогнозирования загруженности веб-сервисов, стоимости ценных бумаг, объёмов продаж и т. д.
• Логарифмически линейная. Применяется при моделировании реальных социально-экономических процессов, которые невозможно описать через линейную функцию.
• Гиперболическая. Она имеет вид у=b+а/х. В экономике её применяют для выявления зависимости объёма выпускаемой продукции от затрат топлива, сырья и материалов, а также для других целей. Классический пример — кривая Филлипса. График оказывает связь между приростом заработной платы и уровнем безработицы.

Регрессионный анализ позволяет с максимальной эффективностью и наименьшими усилиями использовать накопленный теоретико-прикладной потенциал, выдвигать и обосновывать идеи, ставить и решать задачи.

Источник

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

Для анализа методом регрессии необходимо собрать данные, чтобы установить зависимость между переменными. Когда частных значений много, как в случае информации по изменениям температуры и объема продаж, можно построить график, откладывая по оси X значения температуры, а по оси Y — значения объема продаж. Цель анализа — составление уравнения линии, которая наилучшим образом отображает зависимость. При анализе методом регрессии стараются так провести линию между нанесенными на график точками, чтобы «значение суммы квадратов отклонений точек от линии было наименьшим». При работе методом наименьших квадратов (least squares method) требуется бесконечно складывать, вычитать и умножать. Для облегчения расчетов нужны деловой калькулятор или программа построения электронных таблиц.

Краткое воспоминание из алгебры

В порядке подготовки к рассмотрению примера на применение метода регрессии вспомним основы алгебры.

где Y — зависимая переменная (например, объем продаж);

m — коэффициент, характеризующий наклон линии (зависимость между переменными);

X — независимая переменная (например, дождь);

b — отрезок на оси «У» (точка, в которой линия пересекает вертикальную ось).

Компьютерная программа построения электронных таблиц рассчитывает линейное уравнение (Y = тХ + Ь), описывающее связь между независимой и зависимой переменными. Программа определяет, можно ли в качестве точного инструмента прогнозирования использовать линию, которая рассчитана как наилучшим образом отображающая зависимость.

Пример использования метода регрессии для анализа ситуации с продажей мороженого

Владелец сети из двадцати магазинов Ben amp; Jerry’s по продаже мороженого заметил, что объемы продаж растут и снижаются с ростом и понижением температуры воздуха соответственно. Решив определить точную математическую зависимость между объемом продаж и сезонными температурами, он собрал данные по ежемесячным объемам продаж за предыдущие пять лет, а в Национальной метеорологической службе получил данные по среднемесячной температуре в соответствующие месяцы. В результате получилась следующая таблица:

Месяц Среднемесячная температура Объем продаж, долл.

1. 200 ООО

1. 250 000

Используя функцию «Regression» («Регрессия») программы построения электронных таблиц, владелец получил следующие данные: Статистические данные

Среднеквадратическая погрешность оценки Y 243 334

Коэффициент, характеризующий точку пересечения оси Y -379 066 Коэффициент X 16431

Среднеквадратическая погрешность коэффициента X 3 367

t-статистика переменной X 889

Что означают эти данные?

Как ни парадоксально, но приведенные выше данные определяют уравнение линии, которое описывает зависимость между температурой за окном и объемом продаж в магазинах Ben amp; Jerry’s.

«Коэффициент, характеризующий точку пересечения оси Y» = b =

«Коэффициент X» = m = 16 431

Подставляя эти значения в стандартное линейное уравнение, приведенное выше, получаем: Y = 16 43IX — 379 066. Наносим точки на график и проводим линию регрессии, описанную этим уравнением. В результате имеем следующее (см. рис. на с. 220).

На графике видно, что линия регрессии проходит посредине между точками. Введя значение температуры X в уравнение, можно определить прогнозируемый (predicted) объем продаж мороженого. В случае магазинов Ben amp; Jerry’s при температуре 60° F (15° С) ожидаемый объем продаж в месяц должен составить 606 794 долл.

Y = (16 431 X 60° F) — 379 066 = 606 794 долл.

Однако насколько точно данное уравнение позволяет прогнозировать продажи мороженого? Ответ на этот вопрос дает нам один из показателей, приведенных выше в статистических данных.

Пример анализа методом регрессии продаж мороженого фирмой Ben amp; Jerry’s

Температура воздуха, °F (График построен с помощью программы Actual Lotus 1-2-3)

Пояснения по R2

Значение R2 показывает, «какой процент разброса данных объясняется конкретным уравнением регрессии». В нашем случае это 70,4% разброса данных по объему продаж Такой показатель считается очень высоким. В широкомасштабном экономическом анализе очень высоким следует считать показатель 30%, так как на состояние экономики влияют тысячи переменных. Можно предположить, что в бизнесе, связанном с мороженым, на колебания объема продаж, помимо температуры, влияют также условия и длительность хранения продукта, реклама, предложение потребителям компенсационных купонов.

Однако не теряйте бдительности! Не пытайтесь вычитать слишком многое из результатов анализа методом регрессии! Они говорят нам только то, что объем продаж изменяется с температурой на улице во многом именно так, как описано.

шо предсказывает поведение исследуемой зависимой переменной, используйте анализ методом регрессии.

Анализ методом регрессии выявляет не только позитивную, как в случае с температурой воздуха и объемом продаж мороженого, но и негативную корреляцию, например, процентных ставок и объема продаж жилья. Если процентные ставки слишком высоки, объем продаж низок. В подобном случае коэффициент X имеет отрицательное значение. С точки зрения прогнозирования подобные негативные зависимости так же полезны, как позитивные.

Пояснения по среднеквадратической погрешности

• синонимы стандартной ошибки (standard deviations) коэффициента Y и коэффициента X линии регрессии. В примере с компанией Ben amp; Jerry’s среднеквадратическая погрешность оценки Y (объем продаж) составляет 243 334 долл. 68% времени, а коэффициента X (температура) — 3367. Для оценки изменчивости этих показателей и надежности полученного уравнения регрессии можно, используя понятие среднеквадратического отклонения, проанализировать десятки диапазонов возможных значений данных.

t-статистика как критерий надежности

t-статистика (Г statistic) может подсказать вам, пригодно ли для прогнозирования уравнение регрессии, рассчитанное компьютерной программой, t-статистика показывает, оказывает ли переменная X статистически значимое влияние на Y, например, температура воздуха — на объем продаж Для определения данного критерия следует разделить коэффициент X на его среднюю квадратическую погрешность. Эмпирическое правило гласит, что, если t-статистика оказывается больше 2 или меньше -2, переменная X оказывает статистически значимое влияние на Y. В нашем примере критерий имеет очень высокое значение: 16 431/3 367 = 4,88.

Модель может считаться вполне пригодной для прогнозирования, если R и t-статистика имеют высокие значения. Можно разработать модель

более чем с одной переменной X. Мы будем иметь дело со множественной регрессией (multivariable regression). С ростом числа переменных увеличивается значение R. Однако прибавление числа переменных X при низком значении t-статистики приводит к получению неточной модели. Необходимо работать над моделью, добавляя и исключая независимые переменные, чтобы получить высокие значения R2 и t-статистики.

Анализ методом регрессии с использованием ранговых переменных

Одним из приемов в рамках анализа методом регрессии является использование ранговых переменных (dummy variables) для представления условий, не определяемых в серии расчетов. В качестве таких ранговых переменных применяются значения «0» и «1». Например, магазин Toys «R» Us, имеющий запас игрушки, очень модной в данном сезоне, — условие, которое нельзя представить численным значением — резко увеличивает объем продаж. В совокупности данных наличие и отсутствие запаса можно обозначить ранговыми переменными «1» и «0» соответственно.

Используя гипотетическую совокупность данных по магазину Toys «R» Us, можно понять, как работают эти переменные.

Дата Состояние запаса модной игрушки Объем продаж,

(1 — наличие запаса, долл.

0 — отсутствие запаса)

12/1/92 0 100 000

12/2/92 0 100 000

12/3/92 1 200 000

12/4/92 1 200 000

12/5/92 0 100 000

12/6/92 1 200 000

12/7/92 0 200 000

Используя функцию «Regression», получаем следующие данные, которые характеризуют зависимость между наличием/отсутствием в ассортименте модной игрушки и объемом продаж:

Среднеквадратическая погрешность оценки Y 0,001

Коэффициент, характеризующий точку пересечения оси Y 100 000

Коэффициент X 100 000

Среднеквадратическая погрешность коэффициента X 0,0009

t-статистика переменной X 111111111

Модель идеальна, разброс объясняется значением R2 на 100%, а значение t-статистики превосходно.

Объем продаж =100 000X + 100 000

Если вожделенная игрушка имеется в магазине, X = 1 и объем продаж подскакивает до 200 000 долл., если не имеется — возвращается на уровень 100 000 долл. Ранговые переменные весьма полезны и могут использоваться для приведения в соответствие данных, не пригодных для численного представления (например, состояния запасов или торговли в выходные дни) и данных, выражаемых в числах (например, температуры, ставки процента, дефектов продукции) в целях построения полезных моделей регрессии.

Источник

Регрессионный анализ — статистический метод исследования зависимости случайной величины от переменных

В статистическом моделировании регрессионный анализ представляет собой исследования, применяемые с целью оценки взаимосвязи между переменными. Этот математический метод включает в себя множество других методов для моделирования и анализа нескольких переменных, когда основное внимание уделяется взаимосвязи между зависимой переменной и одной или несколькими независимыми. Говоря более конкретно, регрессионный анализ помогает понять, как меняется типичное значение зависимой переменной, если одна из независимых переменных изменяется, в то время как другие независимые переменные остаются фиксированными.

Во всех случаях целевая оценка является функцией независимых переменных и называется функцией регрессии. В регрессионном анализе также представляет интерес характеристика изменения зависимой переменной как функции регрессии, которая может быть описана с помощью распределения вероятностей.

Задачи регрессионного анализа

Данный статистический метод исследования широко используется для прогнозирования, где его использование имеет существенное преимущество, но иногда это может приводить к иллюзии или ложным отношениям, поэтому рекомендуется аккуратно его использовать в указанном вопросе, поскольку, например, корреляция не означает причинно-следственной связи.

Разработано большое число методов для проведения регрессионного анализа, такие как линейная и обычная регрессии по методу наименьших квадратов, которые являются параметрическими. Их суть в том, что функция регрессии определяется в терминах конечного числа неизвестных параметров, которые оцениваются из данных. Непараметрическая регрессия позволяет ее функции лежать в определенном наборе функций, которые могут быть бесконечномерными.

Как статистический метод исследования, регрессионный анализ на практике зависит от формы процесса генерации данных и от того, как он относится к регрессионному подходу. Так как истинная форма процесса данных, генерирующих, как правило, неизвестное число, регрессионный анализ данных часто зависит в некоторой степени от предположений об этом процессе. Эти предположения иногда проверяемы, если имеется достаточное количество доступных данных. Регрессионные модели часто бывают полезны даже тогда, когда предположения умеренно нарушены, хотя они не могут работать с максимальной эффективностью.

В более узком смысле регрессия может относиться конкретно к оценке непрерывных переменных отклика, в отличие от дискретных переменных отклика, используемых в классификации. Случай непрерывной выходной переменной также называют метрической регрессией, чтобы отличить его от связанных с этим проблем.

История

Самая ранняя форма регрессии — это всем известный метод наименьших квадратов. Он был опубликован Лежандром в 1805 году и Гауссом в 1809. Лежандр и Гаусс применили метод к задаче определения из астрономических наблюдений орбиты тел вокруг Солнца (в основном кометы, но позже и вновь открытые малые планеты). Гаусс опубликовал дальнейшее развитие теории наименьших квадратов в 1821 году, включая вариант теоремы Гаусса-Маркова.

Термин «регресс» придумал Фрэнсис Гальтон в XIX веке, чтобы описать биологическое явление. Суть была в том, что рост потомков от роста предков, как правило, регрессирует вниз к нормальному среднему. Для Гальтона регрессия имела только этот биологический смысл, но позже его работа была продолжена Удни Йолей и Карлом Пирсоном и выведена к более общему статистическому контексту. В работе Йоля и Пирсона совместное распределение переменных отклика и пояснительных считается гауссовым. Это предположение было отвергнуто Фишером в работах 1922 и 1925 годов. Фишер предположил, что условное распределение переменной отклика является гауссовым, но совместное распределение не должны быть таковым. В связи с этим предположение Фишера ближе к формулировке Гаусса 1821 года. До 1970 года иногда уходило до 24 часов, чтобы получить результат регрессионного анализа.

Методы регрессионного анализа продолжают оставаться областью активных исследований. В последние десятилетия новые методы были разработаны для надежной регрессии; регрессии с участием коррелирующих откликов; методы регрессии, вмещающие различные типы недостающих данных; непараметрической регрессии; байесовские методов регрессии; регрессии, в которых переменные прогнозирующих измеряются с ошибкой; регрессии с большей частью предикторов, чем наблюдений, а также причинно-следственных умозаключений с регрессией.

Регрессионные модели

Модели регрессионного анализа включают следующие переменные:

• Неизвестные параметры, обозначенные как бета, которые могут представлять собой скаляр или вектор.
• Независимые переменные, X.
• Зависимые переменные, Y.

В различных областях науки, где осуществляется применение регрессионного анализа, используются различные термины вместо зависимых и независимых переменных, но во всех случаях регрессионная модель относит Y к функции X и β.

Приближение обычно оформляется в виде E (Y | X) = F (X, β). Для проведения регрессионного анализа должен быть определен вид функции f. Реже она основана на знаниях о взаимосвязи между Y и X, которые не полагаются на данные. Если такое знание недоступно, то выбрана гибкая или удобная форма F.

Зависимая переменная Y

Предположим теперь, что вектор неизвестных параметров β имеет длину k. Для выполнения регрессионного анализа пользователь должен предоставить информацию о зависимой переменной Y:

• Если наблюдаются точки N данных вида (Y, X), где N < k, большинство классических подходов к регрессионному анализу не могут быть выполнены, так как система уравнений, определяющих модель регрессии в качестве недоопределенной, не имеет достаточного количества данных, чтобы восстановить β.

• Если наблюдаются ровно N = K, а функция F является линейной, то уравнение Y = F (X, β) можно решить точно, а не приблизительно. Это сводится к решению набора N-уравнений с N-неизвестными (элементы β), который имеет единственное решение до тех пор, пока X линейно независим. Если F является нелинейным, решение может не существовать, или может существовать много решений.
• Наиболее распространенной является ситуация, где наблюдается N > точки к данным. В этом случае имеется достаточно информации в данных, чтобы оценить уникальное значение для β, которое наилучшим образом соответствует данным, и модель регрессии, когда применение к данным можно рассматривать как переопределенную систему в β.

В последнем случае регрессионный анализ предоставляет инструменты для:

• Поиска решения для неизвестных параметров β, которые будут, например, минимизировать расстояние между измеренным и предсказанным значением Y.
• При определенных статистических предположениях, регрессионный анализ использует избыток информации для предоставления статистической информации о неизвестных параметрах β и предсказанные значения зависимой переменной Y.

Необходимое количество независимых измерений

Рассмотрим модель регрессии, которая имеет три неизвестных параметра: β, β₁ и β₂. Предположим, что экспериментатор выполняет 10 измерений в одном и том же значении независимой переменной вектора X. В этом случае регрессионный анализ не дает уникальный набор значений. Лучшее, что можно сделать, оценить среднее значение и стандартное отклонение зависимой переменной Y. Аналогичным образом измеряя два различных значениях X, можно получить достаточно данных для регрессии с двумя неизвестными, но не для трех и более неизвестных.

Если измерения экспериментатора проводились при трех различных значениях независимой переменной вектора X, то регрессионный анализ обеспечит уникальный набор оценок для трех неизвестных параметров в β.

В случае общей линейной регрессии приведенное выше утверждение эквивалентно требованию, что матрица X Т X обратима.

Статистические допущения

Когда число измерений N больше, чем число неизвестных параметров k и погрешности измерений ε_i, то, как правило, распространяется затем избыток информации, содержащейся в измерениях, и используется для статистических прогнозов относительно неизвестных параметров. Этот избыток информации называется степенью свободы регрессии.

Основополагающие допущения

Классические предположения для регрессионного анализа включают в себя:

• Выборка является представителем прогнозирования логического вывода.
• Ошибка является случайной величиной со средним значением нуля, который является условным на объясняющих переменных.
• Независимые переменные измеряются без ошибок.
• В качестве независимых переменных (предикторов) они линейно независимы, то есть не представляется возможным выразить любой предсказатель в виде линейной комбинации остальных.
• Ошибки являются некоррелированными, то есть ковариационная матрица ошибок диагоналей и каждый ненулевой элемент являются дисперсией ошибки.
• Дисперсия ошибки постоянна по наблюдениям (гомоскедастичности). Если нет, то можно использовать метод взвешенных наименьших квадратов или другие методы.

Эти достаточные условия для оценки наименьших квадратов обладают требуемыми свойствами, в частности эти предположения означают, что оценки параметров будут объективными, последовательными и эффективными, в особенности при их учете в классе линейных оценок. Важно отметить, что фактические данные редко удовлетворяют условиям. То есть метод используется, даже если предположения не верны. Вариация из предположений иногда может быть использована в качестве меры, показывающей, насколько эта модель является полезной. Многие из этих допущений могут быть смягчены в более продвинутых методах. Отчеты статистического анализа, как правило, включают в себя анализ тестов по данным выборки и методологии для полезности модели.

Кроме того, переменные в некоторых случаях ссылаются на значения, измеренные в точечных местах. Там могут быть пространственные тенденции и пространственные автокорреляции в переменных, нарушающие статистические предположения. Географическая взвешенная регрессия — единственный метод, который имеет дело с такими данными.

Линейный регрессионный анализ

В линейной регрессии особенностью является то, что зависимая переменная, которой является Y_i, представляет собой линейную комбинацию параметров. Например, в простой линейной регрессии для моделирования n-точек используется одна независимая переменная, x_i, и два параметра, β и β₁.

При множественной линейной регрессии существует несколько независимых переменных или их функций.

При случайной выборке из популяции ее параметры позволяют получить образец модели линейной регрессии.

В данном аспекте популярнейшим является метод наименьших квадратов. С помощью него получают оценки параметров, которые минимизируют сумму квадратов остатков. Такого рода минимизация (что характерно именно линейной регрессии) этой функции приводит к набору нормальных уравнений и набору линейных уравнений с параметрами, которые решаются с получением оценок параметров.

При дальнейшем предположении, что ошибка популяции обычно распространяется, исследователь может использовать эти оценки стандартных ошибок для создания доверительных интервалов и проведения проверки гипотез о ее параметрах.

Нелинейный регрессионный анализ

Пример, когда функция не является линейной относительно параметров, указывает на то, что сумма квадратов должна быть сведена к минимуму с помощью итерационной процедуры. Это вносит много осложнений, которые определяют различия между линейными и нелинейными методами наименьших квадратов. Следовательно, и результаты регрессионного анализа при использовании нелинейного метода порой непредсказуемы.

Расчет мощности и объема выборки

Здесь, как правило, нет согласованных методов, касающихся числа наблюдений по сравнению с числом независимых переменных в модели. Первое правило было предложено Доброй и Хардином и выглядит как N = t^n, где N является размер выборки, n — число независимых переменных, а t есть числом наблюдений, необходимых для достижения желаемой точности, если модель имела только одну независимую переменную. Например, исследователь строит модель линейной регрессии с использованием набора данных, который содержит 1000 пациентов (N). Если исследователь решает, что необходимо пять наблюдений, чтобы точно определить прямую (м), то максимальное число независимых переменных, которые модель может поддерживать, равно 4.

Другие методы

Несмотря на то что параметры регрессионной модели, как правило, оцениваются с использованием метода наименьших квадратов, существуют и другие методы, которые используются гораздо реже. К примеру, это следующие методы:

• Байесовские методы (например, байесовский метод линейной регрессии).
• Процентная регрессия, использующаяся для ситуаций, когда снижение процентных ошибок считается более целесообразным.
• Наименьшие абсолютные отклонения, что является более устойчивым в присутствии выбросов, приводящих к квантильной регрессии.
• Непараметрическая регрессия, требующая большого количества наблюдений и вычислений.
• Расстояние метрики обучения, которая изучается в поисках значимого расстояния метрики в заданном входном пространстве.

Программное обеспечение

Все основные статистические пакеты программного обеспечения выполняются с помощью наименьших квадратов регрессионного анализа. Простая линейная регрессия и множественный регрессионный анализ могут быть использованы в некоторых приложениях электронных таблиц, а также на некоторых калькуляторах. Хотя многие статистические пакеты программного обеспечения могут выполнять различные типы непараметрической и надежной регрессии, эти методы менее стандартизированы; различные программные пакеты реализуют различные методы. Специализированное регрессионное программное обеспечение было разработано для использования в таких областях как анализ обследования и нейровизуализации.

Источник

Регрессионный анализ и прогнозирование

Модели линейной регрессии применяются в самых разных деловых ситуациях для установления зависимости между переменными, которые, как подсказывает аналитику его интуиция, должны быть между собой связаны. После того как зависимость установлена, ее можно использовать для прогнозирования. Обычно регрессионный анализ используется для соотнесения продаж с ценой, рекламой и рыночными факторами; курса акций с доходами и процентными ставками; затрат на производство с объемами производства. Но, конечно, анализ можно использовать также и для ответов другие вопросы: «Как влияет температура воздуха на продажу мороженого?» Независимой переменной в этом случае является температура. Это та переменная, от которой, как предполагается, зависит все остальное. Зависимой переменной будет объем продаж. Температура на улице влияет на объем продаж, но не наоборот.

Для регрессионного анализа необходимо собрать данные, чтобы установить отношения между переменными. Когда данных много, как в случае информации по изменениям температуры и объема продаж за год, можно построить график, откладывая по оси X значения температуры, а по оси Y – объемы продаж. Цель регрессионного анализа – составить уравнение прямой, которая «наилучшим образом» отображает зависимость, то есть провести линию между нанесенными на график точками так, чтобы «значение суммы квадратов отклонений точек от линии было наименьшим». При работе методом наименьших квадратов приходится бесконечно складывать, вычитать и умножать. Для облегчения расчетов нужны калькулятор или программа построения электронных таблиц.

Читайте также

Пример: регрессионный анализ продаж мороженого

Пример: регрессионный анализ продаж мороженого Владелец сети из двадцати магазинов по продаже мороженого Ben &amp; Jerry’s заметил, что объемы продаж растут и снижаются вместе с ростом и понижением температуры воздуха. Решив определить точную математическую зависимость

Прогнозирование инфляции

Прогнозирование инфляции Для работы с облигациями очень важно уметь предсказывать инфляцию. Иначе можно потерять много денег.Как только инфляция ускоряется, потребители начинают срочно тратить деньги. Они боятся роста цен и не хотят откладывать средства на черный день.

Глава 3 Финансовое прогнозирование

Глава 3 Финансовое прогнозирование Лучший способ предсказать свое будущее – это создать его. Стивен Кови Люди все время пытаются заглянуть в будущее. Иногда они делают это успешно, иногда нет. Чаще прогнозы, числа которым не счесть, ошибочны, но так как людей хлебом не

5.7. Прогнозирование денежных потоков

5.7. Прогнозирование денежных потоков Важнейшим документом по прогнозированию денежных потоков предприятия является план движения денежных средств на счетах в банках и кассе (платежный баланс). Он разрабатывается на предстоящий месяц с разбивкой по декадам или

3. Прогнозирование как профессия

3. Прогнозирование как профессия Когда деловые люди наконец узнали, что бум, созданный кредитной экспансией, не может продолжаться бесконечно и неизбежно должен привести к резкому спаду, они поняли, как важно им вовремя знать о дате начала падения цен. Они

69. Теория игр, корреляционный, регрессионный, дисперсионный анализы

69. Теория игр, корреляционный, регрессионный, дисперсионный анализы Теория игр исследует оптимальность стратегии в ситуациях игрового характера. Формализуя конфликтные ситуации математически, их можно представить как игру нескольких игроков, каждый из которых

Прогнозирование и составление бюджета

Прогнозирование и составление бюджета Финансовое планирование, т.е. составление бюджета заключается в трансформировании всех планируемых программ, тактики и задач в издержки с последующим их удержанием из объема ожидаемых продаж. Большинство фирм использует

Прогнозирование

Прогнозирование Процесс составления бюджета всегда требует прогнозирования объемов продаж и издержек. Обычно подобные прогнозы основываются на данных, полученных по последним объемам продаж и издержкам. Исходной точкой для таких прогнозов всегда является прошлая

ЛЕКЦИЯ № 13. Корреляционно–регрессионный анализ

ЛЕКЦИЯ № 13. Корреляционно–регрессионный анализ 1. Понятие и виды корреляционного анализа К. Пирсон и Дж. Юл разработали корреляционный анализ, который по их мнению должен ответить на вопрос о том, как выбрать с учетом специфики и природы анализируемых переменных

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СПРОСА

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СПРОСА Прогнозирование спроса – это процесс оценки количества людей, необходимых в будущем, и их навыков и опыта. Идеальной основой прогнозирования является ежегодный бюджет и более долгосрочные бизнес-планы на уровне служб и отделов или решение о

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ Прогноз предложения оценивает количество людей, которые, вероятно, будут в наличии внутри и вне организации, при определенных допусках на сокращение персонала (утечка работников и уход на пенсию), прогулы, внутренние передвижения и

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СПРОСА И ПРЕДЛОЖЕНИЯ

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СПРОСА И ПРЕДЛОЖЕНИЯ Прогнозы спроса и предложения составляют, используя методы планирования человеческих ресурсов и техники моделирования (см. гл. 25). В крупных организациях использование моделирования приносит особенно хорошие плоды, поскольку

Прогнозирование и его методы

Прогнозирование и его методы Многие предпосылки менеджеры делают в отношении будущих условий, которые они не могут контролировать, но в планировании без них не обойтись. Очевидно, что чем точнее менеджер способен предсказать внешние и внутренние условия, тем больше его

Раздел 3 Прогнозирование рыночного спроса

Раздел 3 Прогнозирование рыночного спроса Краткие пояснения Краткие пояснения Основные инструменты 16. Определение размера рынка и создание рынка (Эванс) 17. Подход HOOF к прогнозированию спроса (Эванс) Полезные инструменты 18. Сглаживание с помощью скользящих

Источник

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

Для анализа методом регрессии необходимо собрать данные, чтобы установить зависимость между переменными. Когда частных значений много, как в случае информации по изменениям температуры и объема продаж, можно построить график, откладывая по оси X значения температуры, а по оси Y — значения объема продаж. Цель анализа — составление уравнения линии, которая наилучшим образом отображает зависимость. При анализе методом регрессии стараются так провести линию между нанесенными на график точками, чтобы «значение суммы квадратов отклонений точек от линии было наименьшим». При работе методом наименьших квадратов (least squares method) требуется бесконечно складывать, вычитать и умножать. Для облегчения расчетов нужны деловой калькулятор или программа построения электронных таблиц.

Краткое воспоминание из алгебры

В порядке подготовки к рассмотрению примера на применение метода регрессии вспомним основы алгебры.

где Y — зависимая переменная (например, объем продаж);

m — коэффициент, характеризующий наклон линии (зависимость между переменными);

X — независимая переменная (например, дождь);

b — отрезок на оси «У» (точка, в которой линия пересекает вертикальную ось).

Компьютерная программа построения электронных таблиц рассчитывает линейное уравнение (Y = тХ + Ь), описывающее связь между независимой и зависимой переменными. Программа определяет, можно ли в качестве точного инструмента прогнозирования использовать линию, которая рассчитана как наилучшим образом отображающая зависимость.

Пример использования метода регрессии для анализа ситуации с продажей мороженого

Владелец сети из двадцати магазинов Ben amp; Jerry’s по продаже мороженого заметил, что объемы продаж растут и снижаются с ростом и понижением температуры воздуха соответственно. Решив определить точную математическую зависимость между объемом продаж и сезонными температурами, он собрал данные по ежемесячным объемам продаж за предыдущие пять лет, а в Национальной метеорологической службе получил данные по среднемесячной температуре в соответствующие месяцы. В результате получилась следующая таблица:

Месяц Среднемесячная температура Объем продаж, долл.

1. 200 ООО

1. 250 000

Используя функцию «Regression» («Регрессия») программы построения электронных таблиц, владелец получил следующие данные: Статистические данные

Среднеквадратическая погрешность оценки Y 243 334

Коэффициент, характеризующий точку пересечения оси Y -379 066 Коэффициент X 16431

Среднеквадратическая погрешность коэффициента X 3 367

t-статистика переменной X 889

Что означают эти данные?

Как ни парадоксально, но приведенные выше данные определяют уравнение линии, которое описывает зависимость между температурой за окном и объемом продаж в магазинах Ben amp; Jerry’s.

«Коэффициент, характеризующий точку пересечения оси Y» = b =

«Коэффициент X» = m = 16 431

Подставляя эти значения в стандартное линейное уравнение, приведенное выше, получаем: Y = 16 43IX — 379 066. Наносим точки на график и проводим линию регрессии, описанную этим уравнением. В результате имеем следующее (см. рис. на с. 220).

На графике видно, что линия регрессии проходит посредине между точками. Введя значение температуры X в уравнение, можно определить прогнозируемый (predicted) объем продаж мороженого. В случае магазинов Ben amp; Jerry’s при температуре 60° F (15° С) ожидаемый объем продаж в месяц должен составить 606 794 долл.

Y = (16 431 X 60° F) — 379 066 = 606 794 долл.

Однако насколько точно данное уравнение позволяет прогнозировать продажи мороженого? Ответ на этот вопрос дает нам один из показателей, приведенных выше в статистических данных.

Пример анализа методом регрессии продаж мороженого фирмой Ben amp; Jerry’s

Температура воздуха, °F (График построен с помощью программы Actual Lotus 1-2-3)

Пояснения по R2

Значение R2 показывает, «какой процент разброса данных объясняется конкретным уравнением регрессии». В нашем случае это 70,4% разброса данных по объему продаж Такой показатель считается очень высоким. В широкомасштабном экономическом анализе очень высоким следует считать показатель 30%, так как на состояние экономики влияют тысячи переменных. Можно предположить, что в бизнесе, связанном с мороженым, на колебания объема продаж, помимо температуры, влияют также условия и длительность хранения продукта, реклама, предложение потребителям компенсационных купонов.

Однако не теряйте бдительности! Не пытайтесь вычитать слишком многое из результатов анализа методом регрессии! Они говорят нам только то, что объем продаж изменяется с температурой на улице во многом именно так, как описано.

шо предсказывает поведение исследуемой зависимой переменной, используйте анализ методом регрессии.

Анализ методом регрессии выявляет не только позитивную, как в случае с температурой воздуха и объемом продаж мороженого, но и негативную корреляцию, например, процентных ставок и объема продаж жилья. Если процентные ставки слишком высоки, объем продаж низок. В подобном случае коэффициент X имеет отрицательное значение. С точки зрения прогнозирования подобные негативные зависимости так же полезны, как позитивные.

Пояснения по среднеквадратической погрешности

• синонимы стандартной ошибки (standard deviations) коэффициента Y и коэффициента X линии регрессии. В примере с компанией Ben amp; Jerry’s среднеквадратическая погрешность оценки Y (объем продаж) составляет 243 334 долл. 68% времени, а коэффициента X (температура) — 3367. Для оценки изменчивости этих показателей и надежности полученного уравнения регрессии можно, используя понятие среднеквадратического отклонения, проанализировать десятки диапазонов возможных значений данных.

t-статистика как критерий надежности

t-статистика (Г statistic) может подсказать вам, пригодно ли для прогнозирования уравнение регрессии, рассчитанное компьютерной программой, t-статистика показывает, оказывает ли переменная X статистически значимое влияние на Y, например, температура воздуха — на объем продаж Для определения данного критерия следует разделить коэффициент X на его среднюю квадратическую погрешность. Эмпирическое правило гласит, что, если t-статистика оказывается больше 2 или меньше -2, переменная X оказывает статистически значимое влияние на Y. В нашем примере критерий имеет очень высокое значение: 16 431/3 367 = 4,88.

Модель может считаться вполне пригодной для прогнозирования, если R и t-статистика имеют высокие значения. Можно разработать модель

более чем с одной переменной X. Мы будем иметь дело со множественной регрессией (multivariable regression). С ростом числа переменных увеличивается значение R. Однако прибавление числа переменных X при низком значении t-статистики приводит к получению неточной модели. Необходимо работать над моделью, добавляя и исключая независимые переменные, чтобы получить высокие значения R2 и t-статистики.

Анализ методом регрессии с использованием ранговых переменных

Одним из приемов в рамках анализа методом регрессии является использование ранговых переменных (dummy variables) для представления условий, не определяемых в серии расчетов. В качестве таких ранговых переменных применяются значения «0» и «1». Например, магазин Toys «R» Us, имеющий запас игрушки, очень модной в данном сезоне, — условие, которое нельзя представить численным значением — резко увеличивает объем продаж. В совокупности данных наличие и отсутствие запаса можно обозначить ранговыми переменными «1» и «0» соответственно.

Используя гипотетическую совокупность данных по магазину Toys «R» Us, можно понять, как работают эти переменные.

Дата Состояние запаса модной игрушки Объем продаж,

(1 — наличие запаса, долл.

0 — отсутствие запаса)

12/1/92 0 100 000

12/2/92 0 100 000

12/3/92 1 200 000

12/4/92 1 200 000

12/5/92 0 100 000

12/6/92 1 200 000

12/7/92 0 200 000

Используя функцию «Regression», получаем следующие данные, которые характеризуют зависимость между наличием/отсутствием в ассортименте модной игрушки и объемом продаж:

Среднеквадратическая погрешность оценки Y 0,001

Коэффициент, характеризующий точку пересечения оси Y 100 000

Коэффициент X 100 000

Среднеквадратическая погрешность коэффициента X 0,0009

t-статистика переменной X 111111111

Модель идеальна, разброс объясняется значением R2 на 100%, а значение t-статистики превосходно.

Объем продаж =100 000X + 100 000

Если вожделенная игрушка имеется в магазине, X = 1 и объем продаж подскакивает до 200 000 долл., если не имеется — возвращается на уровень 100 000 долл. Ранговые переменные весьма полезны и могут использоваться для приведения в соответствие данных, не пригодных для численного представления (например, состояния запасов или торговли в выходные дни) и данных, выражаемых в числах (например, температуры, ставки процента, дефектов продукции) в целях построения полезных моделей регрессии.

Источник



Методика прогнозирования продаж предприятия на основе регрессионного анализа

Разработка методики прогнозирования продаж обусловлена необходимостью эффективного управления предприятием в условиях высокой турбулентности (нестабильности) внешней среды. Прогнозирование является одной из важнейших функций бизнеса и всегда предшествует планированию и имеет своей целью снижение риска при принятии решений. Прогнозирование составляет основу для планирования мощностей, для производства и формирования запасов, расчета потребности в ресурсах, объема продаж и занимаемой доли рынка, а также для выработки стратегии топ-менеджерами предприятия.

Прогнозирование продаж – это момент, критичный не только для управления сбытом, но и финансового управления, бюджетирования, планирования прибыли и т.д. Касаясь сбытового аспекта, можно утверждать, что менеджеры по маркетингу используют прогнозирование продаж для определения величины спроса, целей по продажам, планирования рекламных кампаний и действий по продвижению товара. Прогнозирование касается оценки доли рынка, цен, тенденций в разработке нового товара.

Тем не менее, следует напомнить, что существует несколько основных принципов и допущений, на которых строится прогнозирование:

1. В общем случае предполагается, что причинно-следственные закономерности, характерные для прошлых периодов, будут также превалировать и в будущем.

2. Прогнозы практически никогда не бывают точными, поэтому для целей планирования надо учитывать отклонения

3. Точность прогноза снижается по мере увеличение горизонта прогнозирования

4. Прогнозирование относительно крупного объекта более точно, чем прогнозирование компонента, так как ошибки в предсказании разных событий компенсируют друг друга.

В ходе разработки прогнозов и тенденций на будущее могут быть использованы различные методы, являющихся инструментом для получения информации о вероятных будущих значениях анализируемых объектов.

С целью формирования прогноза продаж предприятия было предложено использование метода регрессионного анализа, как одного из наиболее популярных методов прогнозирования сбыта и наиболее приемлемого к специфике предприятия. В теории под регрессионным анализом понимается статистическая процедура для математической усредненной оценки функциональной зависимости между зависимой переменной и независимой переменной (независимыми переменными). Зависимость от нескольких переменных рассматривает множественная регрессия.

Данный метод относится к эвристическим или экстраполяционным методам, основанным на предшествующем опыте и экстраполяции данных по прогнозируемому показателю. К данной группе методов относится и традиционное экономическое прогнозирование, анализ динамических рядов с целью выявления долговременных тенденций, а также циклических и сезонных закономерностей.

Сущность данного метода заключается в том, что на основе анализа статистических данных строится уравнение множественной регрессии (зависимости) в реальных масштабах, на основе которого может быть получен прогноз значения величины спроса (в данном случае прогноз значения продаж, т.е. прогноз отгрузки на период).

Данное методическое решение направлено на формирование прогноза продаж, с целью своевременной, адекватной реакции и адаптации предприятия к возможным изменениям рыночной конъюнктуры, прежде всего, к изменению величины потребительского спроса. На начальном этапе формирования системы прогнозирования основным предметом исследования становится получение прогноза продаж в разрезе продуктовых групп (ПГ).

В качестве измерителя величины спроса, т.е. фактически, в качестве показателя возможного объема продаж используется объем отгруженной продукции предприятия за период.

За базовый период расчета (построения уравнения) принят период с 01.01.98. по 01.06.99., период, за который имеются данные сбытовой статистики предприятия, другая статистическая информация. Прогноз продаж формируется ежемесячно, поквартально, и на год с учетом фактических результатов за отчетный период и дальнейшей корректировки прогностической модели. Прогноз продаж предоставляется в виде стандартного отчета о продажах поквартально и на год, т.е. на периоды, обеспечивающие наибольшую точность прогнозирования.

Прогноз продаж формируется в разрезе продуктовых групп (внутри продуктовой группы в разрезе материала токопроводящей жилы) в натуральном или денежном выражении.

Алгоритм, используемый в процессе разработки прогностической модели сбыта предприятия и формирования прогноза продаж, можно представить в следующем виде:

1. Определение факторов, предположительно оказывающих непосредственное влияние на прогнозируемые показатели.

2. Оценка влияния факторов на развитие ситуации со сбытом по ПГ

3. Выбор факторов, оказывающих критическое воздействие

4. Определение параметров выбранных внутренних и внешних факторов (формирование статистических рядов данных)

5. Определение коэффициентов корреляции (коэффициентов уравнения)

6. Расчет статистических коэффициентов, проверка прогностической модели на согласие (точность и добротность уравнения) и определение доверительного интервала

7. Проверка точности прогноза

8. Расчет прогноза продаж на период (решение уравнения регрессии)

На первом этапе рассматривались внутренние и внешние факторы, предположительно оказывающих непосредственное влияние на величину спроса.

Факторы — это количественно выраженные тенденции внешней и внутренней среды предприятия, оказывающие влияние, которое можно выразить математически, на прогнозируемые показатели.

К внутренним факторам относятся факторы, под действием которых возможно изменение прогнозируемой величины (объема спроса) и поддающиеся регулированию со стороны предприятия.

К внешним факторам относятся неподконтрольные предприятию факторы, оказывающие непосредственное влияние на изменение прогнозируемой величины. В процессе разработки модели были определены следующие факторы:

1. Внутренние факторы

1. Средняя цена за единицу товара по каждой продуктовой группе; 2. Форма оплаты за отгруженную продукцию (Удельные доли оплаты деньгами и посредством взаимозачета); 3. Соотношение количества клиентов, ранжированных в зависимости от доли в обороте в группах АВС по каждой продуктовой группе; 4. Величина среднего заказа; 5. Частота поступления заказов; 6. Затраты на маркетинг (расходы на рекламу и мероприятия по поддержке сбыта); 7. Фактор внутреннего развития системы (предприятия).

2. Внешние факторы

1. Усредненная цена конкурентов по аналогичным продуктовым группам; 2. Курс доллара; 3. Темп инфляции; 4. Темп роста цен на потребительские товары; 5. Темп роста цен на промышленные товары; 6. Технический прогресс и социальное развитие;

В процессе дальнейшего анализа и отбора влияющих факторов необходимых для применения в прогностической модели были определены параметры следующих критических факторов (см. Прил1.):

1. Средняя цена за единицу продукта (степень детализации ограничивается продуктовой группой и материалом жилы), отнесенная к среднему курсу доллара за период;

2. Удельная доля оплаты деньгами

3. Количество клиентов каждой из групп АВС по каждой продуктовому направлению (в качестве показателя масштабов рынка);

4. Период времени, где январь 1998 года принят за 1 (данный фактор позволяет в некоторой степени учесть динамическое развитие как внутренней, так и внешней среды);

5. Величина затрат на маркетинг (рекламные расходы).

Все выделенные факторы отвечают следующим необходимым требованиям:

· максимальная взаимная независимость;

· максимальный охват всех внешних воздействий на результирующий признак, имеющих постоянный характер;

В процессе формирования модели были построены статистические ряды данных о внешней информации за последние восемнадцать месяцев.

Оценка предполагаемой величины спроса в соответствии с методикой регрессионного анализа может быть произведена в виде коэффициента прироста к величине предыдущего периода.

В общем случае математическая модель прогноза спроса выглядит следующим образом:

D_пр = D * + DD , где

D_пр – прогнозируемая величина спроса, ед. товара;

D * – величина спроса, результат решения уравнения регрессии,

DD – случайная величина, являющаяся результатом воздействия случайных, стохастических факторов, ед. товара.

Элемент DD появляется по следующим причинам:

1. Невключение объясняющих переменных. Соотношение в любом случае является значимо упрощенным, большое количество объясняющих переменных не включено либо из-за невозможности их измерения, либо из-за непостоянного характера их воздействия.

2. Неправильная функциональная спецификация. Как было уже отмечено, принятая нами формула в любом случае является приближенной. Реальная зависимость, в принципе, может иметь любой, сколь угодно сложный вид. Любая изощренная формула будет являться лишь приближением. Расхождение значения, появляющееся из-за этого приписывается наличию случайного члена.

3. Неправильное описание структуры модели. Например, если зависимость относится к данным о времени, то значение результата может зависеть не от фактического значения х, а от значения, которое ожидалось в предыдущем периоде. В случае, если ожидаемое и фактическое значения тесно связаны, то будет казаться, что зависимость наличествует, но это только аппроксимация, и расхождения также будут отнесены к случайному члену.

4. Агрегирование переменных. Часто предпринимается попытка использовать более общие факторы, объединяющие в себе сразу несколько, с целью облегчения использования модели. Это приводит к тому, что некоторые взаимосвязи теряются, нарастает ошибка.

5. Ошибки измерения. Если в измерениях значений переменных появляются ошибки, характер взаимосвязи будет неправильный.

Исходя из методологических положений теории можно констатировать тот факт, что для описания кривых спроса больше всего подходят кривые Энгеля. Это функции вида y = a*xb и y = a + b/x. Однако для прогнозирования в краткосрочном периоде подходит линейное уравнение вида y = a +bx, так как в течение небольшого периода времени кривизна линии составит незначительную величину. Данное допущение нуждается в экспериментальной проверке. Модель с допущениями имеет следующий вид:

P – цена на товар;

M – эффект масштаба рынка сбыта;

I – доход покупателей;

T – эффект времени;

Так как товар не является потребительским, его покупатели не являются конечными потребителями, показатель “доход покупателей” теряет свою значимость.

Следует также отметить, что показатель темпа инфляции в достаточной мере учтен курсом доллара, а показатель «средняя цена конкурентов на аналогичные товары» имеет незначимо низкий коэффициент корреляции как с признаком-результатом, так и с другими факторами.

Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле

где Cov(x,y) – ковариация между фактором х и результатом y,
отражающая качественную меру тесноты их взаимосвязи,

Var – дисперсия каждого из рядов данных, отражающая
квадрат разброса величин вокруг своего среднего значения.

Коэффициент корреляции показывает, что две величины зависят друг от друга, однако не дает представления о том, каким образом они связаны. Для определения количественных показателей характера влияния необходимо внести предположение о формальном виде модели. Следует помнить, что, так как мы лишь предполагаем, что формула выглядит определенным образом, любой расчет может лишь приближаться к реальности в большей или меньшей степени.

На следующем этапе необходимо подобрать такие коэффициенты а, b, b₁, b₂ и r, чтобы сумма квадратов остатков реального значения факторов и прогноза, полученного по формуле, была минимальна. Этот широко распространенный способ оценки значений носит название метод наименьших квадратов.

Если бы в нашей модели присутствовала только одна объясняющая переменная, формула для расчета коэффициента b выглядела бы следующим образом:

В случае с несколькими переменными, кроме включения взаимосвязей между каждом фактором и результатом, из каждого частного коэффициента должна быть исключена его корреляция со всеми другими факторами. Формула становится чересчур громоздкой для чтения. Процесс вычисления осуществляется автоматически.

Коэффициент а может быть получен как следующая разность:

где используются усредненные значения х и y.

Для каждого коэффициента можно рассчитать показатель стандартной ошибки, основанный на значении среднеквадратического отклонения случайного члена. Можно утверждать, что реальное значение каждого коэффициента (например, А) находится в промежутке а – с.о. < А < а + с.о. Данный интервал называется доверительным.

Качество оценивания можно проверит, вычислив коэффициент детерминации R-квадрат, определяющийся как отношение дисперсии прогнозной величины y к дисперсии фактических значений y. То есть это та часть дисперсии, которая объяснена уравнением регрессии. В принципе, чем ближе R 2 к единице, тем точнее оценка.

Можно рассчитать также случайную ошибку для прогнозного значения результата, основываясь на значении остатков. Процентное отношение стандартной ошибки к величине значения прогноза определяется как точность прогноза. Точность прогноза может быть представительной или нет. Это определяется на основе проведения так называемого F-теста.

n – число значений в ряду данных,

k – число объясняющих переменных.

Если фактическое значение F ниже критического, расчет считается непредставительным. В нашем случае, т.е. с 18-ю наблюдениями и 4-мя переменными значение F не должно быть меньше 3,18.

После проведения необходимых проверок на основе уравнения может быть получен прогноз значения величины отгрузки для любого набора влияющих факторов.

К ключевым достоинствам разработанной прогностической модели можно отнести следующее:

· модель достаточно проста в использовании, обладает необходимой гибкостью для возможных изменений, дополнениям, пересчету;

· возможен постоянный мониторинг изменения значения спроса по мере поступления информации о влияющих факторах, а также проведение анализа чувствительности для выявления критических для предприятия значений факторов;

· прогнозируемый результат не зависит от значения спроса за предыдущий период, а лишь учитывает его трендовые тенденции

· возможное изменение характера влияния факторов с течением времени может быть скорректировано регулярным пересчетом уравнения.

К основным недостаткам разработанной прогностической модели:

· точность результата критически зависит от правильного прогноза влияющих факторов;

· невозможность учета всего спектра влияющих факторов в силу неопределенности таковых, что приводит к неполному охвату уравнением всех воздействий на результат и прогнозируемой возможности ошибки до 35% (величина стандартной ошибки, представляющей на практике DD);

· индивидуальный характер полученных коэффициентов, которые могут быть применены только для данных продуктовых групп, и только с данным набором воздействующих факторов;

Следует отметить, что вышеуказанные недостатки свойственны практически всем прогностическим моделям, и обусловлены, главным образом, двумя ключевыми факторами:

· высокой степенью неопределенности внешней среды

· недостатком необходимой достоверной информации (в первую очередь информации о внешней среде)

Упрощенный алгоритм функционирования прогностической модели, т.е. расчета формирования прогноза продаж выглядит следующим образом:

1. Формирование прогноза продаж на основе регрессионного анализа по данным сбытовой статистики

2. Корректировка прогноза продаж с учетом имеющегося на предприятии портфеля заказов на прогнозируемый период в разрезе продуктовых групп.

3. Прогноз корректируется по результатам мониторинга базовых отраслей – потребителей продукции предприятия.

4. Корректировка базового значения на прогноз качественного изменения конъюнктуры рынка. на основе экспертных оценок.

Принципиальная схема прогнозирования продаж с последующей, возможной корректировкой полученного прогноза представлена на рис.1.

Полученные прогнозные значения в разрезе ПГ и в сопоставлении с плановыми значениями предприятия (данными ПЭО) и фактическими результатами продаж представлены в табл.1.

В табл.2 и на рис.2 представлена поквартальная динамика продаж предприятия в натуральном выражении на протяжении последних 18 месяцев.

В приложении 1 приводятся полученные результаты: статистические ряды данных, прогнозные значения, а также показатели, характеризующие точность и достоверность прогноза.

Источник

Методология построения регрессионных моделей оценки объема продаж сети предприятий розничной торговли

Системный анализ прикладных возможностей современных математических методов прогнозирования в финансово-экономической сфере. Принципиальная схема построения и исследования регрессионных моделей анализа объема продаж в предприятиях розничной торговли.

Рубрика	Экономико-математическое моделирование
Вид	статья
Язык	русский
Дата добавления	30.11.2016
Размер файла	49,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ ОЦЕНКИ ОБЪЕМА ПРОДАЖ СЕТИ ПРЕДПРИЯТИЙ РОЗНИЧНОЙ ТОРГОВЛИ

Архипова Е.М., Власов Д.А., Насельский С.П.

МГОПУ им. М.А. Шолохова

Цель данной статьи — системный анализ прикладных возможностей современных математических методов прогнозирования в финансово-экономической сфере. Обобщив классические разделы регрессионного анализа, мы представляем принципиальную схему построения и исследования (7 этапов) регрессионных моделей оценки объема продаж сети предприятий розничной торговли.

Имеются следующие данные табл. 1 о зависимости объема продаж y (тыс. ед.) от затраченных денег на рекламу x₁ (дес. тыс. долл.), количества сетей предприятий розничной торговли (сетей магазинов), продающих продукт фирмы в регионе — x₂ (ед.), и уровня безработицы в регионе — x₃ (%).

Проблема: Построить регрессионную модель и провести серию необходимых проверок для подтверждения ее статистической значимости.

Этап I. Построим регрессионную модель:

y — оценка объема продаж (тыс. ед.);

x₁ — затраты на рекламу (дес. тыс. долл.);

x₂ — число сетей предприятий розничной торговли (ед.);

x₃ — уровень безработицы(%).

Данные таблицы являются исходной информацией для вычисления коэффициентов нормальных уравнений следующей системы:

Вычислим данные, необходимые для того, чтобы воспользоваться формулой и сведем их в таблицу 2.

Определим коэффициенты , которые являются оценками . Для этого используем формулы Крамера.

В результате проведенных расчетов получаем уравнение множественной регрессии:

Этап II. Вычислим множественную стандартную ошибку для уравнения (*).

Определим точечную оценку объема продаж для первого региона:

Фактическое значение объема продаж для первого региона y = 16. Следовательно, величина остатка

y —= 16 — 15,89 =0,11.

Аналогично вычислим оценочные значения , остатки и их квадраты для остальных девяти регионов. Полученные данные сведем в табл. 3.

? y-= 0

?(y-)^2 = 24,85844721

Вычислим множественную стандартную ошибку регрессии по формуле

где n — число наблюдений, k — число независимых переменных. Получаем, что

Этап III. Вычислить значения R 2 , R, Rср 2 для регрессии. Используя все полученные выше данные, вычислим общую вариацию, = 22,4. Полученные данные занесем в табл. 4.

(—)^2

?(—)^2

вычислим R 2 :

R 2 = = 0,905265064.

Как видно из таблицы

вычислим скорректированный коэффициент Rср 2 :

Rср 2 = 1 — ( 1 — 0,905265064) • (10-1) / (10 — 3 — 1) = 0,857897596.

Определим R по формуле:

R = 0,951454184 (**)

Этап IV. Проверим существенность коэффициентов уравнения (*) при = 0,1.

Исходной информацией для расчетов является матрица:

С помощью программного обеспечения Microsoft Excel нами вычислены стандартные отклонения коэффициентов:

0,08769957; 0,907790908; 0,244071095

Далее вычислим t — статистики, используя формулу:

t₁ = 2,210710561, t₂ = 2,575602317, t₃ = -0,666898793.

= t_0,05;6 = 1,943,

Как видно, несущественным является коэффициент , так как

| t₃| = 0,666898793 < 1,943. (***)

Проведем еще один тест, дополняющий t — тесты для отдельных коэффициентов регрессии. Он проверяет совместную способность k независимых переменных объяснять зависимую переменную.

Этот тест является проверкой нулевой гипотезы:

Нулевая гипотеза проверяется с помощью F — критерия:

С помощью F — статистики проверяется, действительно ли объясненная сумма квадратов отклонений превышает ту сумму квадратов отклонений, которая может быть случайной. Критический предел для F — статистики находится как значение F — распределения с параметрами (уровень значимости), k (число степеней свободы числителя), n — k — 1 (число степеней свободы знаменателя).

Коэффициент детерминации R 2 = 0,905265064. Определим F — отношение:

Зададимся критерием значимости = 0,05 и по статистической таблице найдем F_0,05;3;6 = 4,76. Отсюда

F = 19,11153587 > 4,76,

т.е. гипотеза H₀ отвергается при = 0,05. Следовательно, уравнение множественной регрессии в целом статистически значимо.

Этап VII. Выше было определено, что в регрессии объема продаж на три переменные переменная x₃ (процент безработных) оказалась статистически незначимой. Поэтому в модели следует оставить только переменные x₁ (затраты на рекламу) и x₂ (количество сетей предприятий розничной торговли).

Модель (*) в этом случае будет иметь вид:

Ход вычислений аналогичен вышепоказанному варианту и произведен в программной среде Microsoft Excel. Полученные результаты сведем в таблицу 5.

Источник