Основное понятие математического анализа это



МАТЕМАТИ́ЧЕСКИЙ АНА́ЛИЗ

МАТЕМАТИ́ЧЕСКИЙ АНА́ЛИЗ, раз­дел ма­те­ма­ти­ки, в ко­то­ром пе­ре­мен­ные ве­ли­чи­ны (функ­ции и их обоб­ще­ния) изу­ча­ют­ся с ис­поль­зо­ва­ни­ем пре­де­лов. По­ня­тие пре­де­ла свя­за­но с по­ня­ти­ем бес­ко­неч­но ма­лой ве­ли­чи­ны, и ино­гда го­во­рят, что М. а. изу­ча­ет функ­ции и их обоб­ще­ния с ис­поль­зо­ва­ни­ем ме­то­да бес­ко­неч­но ма­лых. Ста­рое назв. М. а. – «Ана­лиз бес­ко­неч­но ма­лых», точ­нее бы­ло бы: ана­лиз по­сред­ст­вом бес­ко­неч­но ма­лых. В клас­сич. М. а. объ­ек­та­ми изу­че­ния яв­ля­ют­ся пре­ж­де все­го функ­ции. Раз­ви­тие М. а. при­ве­ло к воз­мож­но­сти изу­че­ния с по­мо­щью его ме­то­дов бо­лее слож­ных объ­ек­тов, чем функ­ции, напр. функ­цио­на­лов и опе­ра­то­ров. В при­ро­де и тех­ни­ке всю­ду встре­ча­ют­ся дви­же­ния и про­цес­сы, ко­то­рые опи­сы­ва­ют­ся функ­ция­ми; за­ко­ны и яв­ле­ния при­ро­ды так­же опи­сы­ва­ют­ся функ­ция­ми. От­сю­да сле­ду­ет важ­ность М. а. как сред­ст­ва изу­че­ния функ­ций.

М. а. в ши­ро­ком по­ни­ма­нии это­го тер­ми­на ох­ва­ты­ва­ет весь­ма большyю часть ма­те­ма­ти­ки. В не­го вхо­дят диф­фе­рен­ци­аль­ное ис­чис­ле­ние, ин­те­граль­ное ис­чис­ле­ние, тео­рия функ­ций дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го, ком­плекс­ный ана­лиз, при­бли­же­ние функ­ций, тео­рия диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний, тео­рия ин­те­граль­ных урав­не­ний, диф­фе­рен­ци­аль­ная гео­мет­рия, ва­риа­ци­он­ное ис­чис­ле­ние, функ­цио­наль­ный ана­лиз и не­ко­то­рые др. ма­те­ма­тич. дис­ци­п­ли­ны. Совр. чи­сел тео­рия и ве­ро­ят­но­стей тео­рия при­ме­ня­ют и раз­ви­ва­ют ме­то­ды М. а. Ино­гда тер­мин «М. а.» упот­реб­ля­ют толь­ко для ос­нов М. а., объ­е­ди­няю­щих в се­бе тео­рию дей­ст­ви­тель­ных чи­сел, тео­рию пре­де­лов, тео­рию ря­дов, диф­фе­рен­ци­аль­ное и ин­те­граль­ное ис­чис­ле­ние и их не­по­средств. при­ло­же­ния, та­кие как тео­рия мак­си­му­мов и ми­ни­му­мов, тео­рия не­яв­ных функ­ций, Фу­рье ря­ды, Фу­рье ин­те­гра­лы.

Функ­ция. В М. а. ис­хо­дят из оп­реде­ле­ния функ­ции, ко­то­рое в слу­чае чи­сло­вых функ­ций од­но­го пе­ре­мен­но­го фор­му­ли­ру­ет­ся сле­дую­щим об­ра­зом: ес­ли ка­ж­до­му чис­лу $x$ из не­ко­то­ро­го мно­же­ст­ва чи­сел по­став­ле­но в со­от­вет­ст­вие чис­ло $y$, то этим оп­ре­де­ле­на функ­ция $y=f(x)$ пе­ре­мен­но­го $x$, на­зы­вае­мо­го ар­гу­мен­том функ­ции. Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ют­ся функ­ции $n$ пе­ре­мен­ных $f(x) =f(x_1,x_2. x_n)$, где $x= (x_1,x_2. x_n)$ – точ­ки $n$-мер­но­го про­стран­ст­ва, рас­смат­ри­ва­ют так­же функ­ции $f(x)=f(x_1,x_2. )$ то­чек $x=(x_1,x_2. )$ бес­ко­неч­но­мер­ных про­странств, та­кие функ­ции ча­ще на­зы­ва­ют функ­цио­на­ла­ми.

Эле­мен­тар­ные функ­ции. Фун­дам. зна­че­ние в М. а. име­ют эле­мен­тар­ные функ­ции, ими, в ча­ст­но­сти, при­бли­жа­ют функ­ции бо­лее слож­ной при­ро­ды. Эле­мен­тар­ные функ­ции рас­смат­ри­ва­ют не толь­ко для дей­ст­ви­тель­ных, но и для компле́ксных ар­гу­мен­тов.

Дей­ст­ви­тель­ное чис­ло. Изу­че­ние функ­ций ба­зи­ру­ет­ся на по­ня­тии дей­ст­ви­тель­но­го чис­ла, ко­то­рое окон­ча­тель­но сфор­ми­ро­ва­лось в кон. 19 в. В ча­ст­но­сти, бы­ла ус­та­нов­ле­на ло­ги­че­ски безу­преч­ная связь ме­ж­ду чис­ла­ми и точ­ка­ми пря­мой, при­вед­шая к фор­маль­но­му обос­но­ва­нию идей Р. Де­кар­та (сер. 17 в.), ко­то­рый ввёл в ма­те­ма­ти­ку пря­мо­уголь­ную сис­те­му ко­ор­ди­нат (Де­кар­то­ва сис­те­ма ко­ор­ди­нат) и пред­став­ле­ние функ­ций гра­фи­ка­ми.

Пре­дел. В М. а. при изу­че­нии функ­ций ис­поль­зу­ет­ся пре­дель­ный пе­ре­ход, с по­мо­щью ко­то­ро­го оп­ре­де­ля­ют­ся разл. пре­де­лы, напр. пре­дел по­сле­до­ва­тель­но­сти и пре­дел функ­ции. Эти по­ня­тия окон­ча­тель­но сфор­ми­ро­ва­лись толь­ко в 19 в., хо­тя пред­став­ле­ние о них име­ли ещё древ­ние гре­ки. Так, Ар­хи­мед умел вы­чис­лять пло­щадь сег­мен­та па­ра­бо­лы при по­мо­щи про­цес­са, ко­то­рый сей­час на­зы­ва­ет­ся пре­дель­ным пе­ре­хо­дом.

Не­пре­рыв­ные функ­ции. Важ­ный класс функ­ций, изу­чае­мых в М. а., со­став­ля­ют не­пре­рыв­ные функ­ции. Од­но из воз­мож­ных оп­ре­де­ле­ний это­го по­ня­тия со­сто­ит в сле­дую­щем: функ­ция $y=f(x)$ од­но­го пе­ре­мен­но­го $x$, за­дан­ная на ин­тер­ва­ле $(a,b)$, на­зы­ва­ет­ся не­пре­рыв­ной в точ­ке $x$, $x∈(a,b)$, ес­ли $$\lim_<\Delta x \rightarrow 0>\Delta y = 0,$$

где $Δy=f(x+Δx)-f(x)$. Функ­ция на­зы­ва­ет­ся не­пре­рыв­ной на ин­тер­ва­ле $(a,b)$, ес­ли она не­пре­рыв­на во всех его точ­ках; гра­фик не­пре­рыв­ной функ­ции пред­став­ля­ет со­бой кри­вую, не­пре­рыв­ную в обы­ден­ном по­ни­ма­нии это­го сло­ва.

Про­из­вод­ная и диф­фе­рен­ци­ал. Сре­ди не­пре­рыв­ных функ­ций вы­де­ля­ют­ся функ­ции, имею­щие про­из­вод­ную. Про­из­вод­ная функ­ции $y=f(x)$, $a < x < b$, в точ­ке $x$ – это ско­рость из­ме­не­ния $f$ в точ­ке $x$, т. е. пре­дел

ес­ли он су­ще­ст­ву­ет, обо­зна­чае­мый обыч­но $f'(x)$. Ес­ли $y$ – ко­ор­ди­на­та в мо­мент вре­ме­ни $x$ точ­ки, дви­жу­щей­ся по оси ор­ди­нат, то $f'(x)$ – мгно­вен­ная ско­рость точ­ки при дан­ном зна­че­нии $x$.

По зна­ку про­из­вод­ной $f'(x)$ мож­но су­дить о ха­рак­те­ре из­ме­не­ния $f(x)$: ес­ли $f'(x) > 0$ (или $f'(x) < 0$) на ин­тер­ва­ле $(c,d)$, при­над­ле­жа­щем $(a,b)$, то функ­ция $f$ воз­рас­та­ет (со­от­вет­ст­вен­но, убы­ва­ет) на ин­тер­ва­ле $(c,d)$. Ес­ли функ­ция $f$ в точ­ке $x_0$, $a < x_0 < b$, дос­ти­га­ет экс­тре­му­ма (мак­си­му­ма или ми­ни­му­ма) и име­ет в этой точ­ке про­из­вод­ную, то $f'(x_0)=0$, ина­че го­во­ря, ско­рость из­ме­не­ния $f(x)$ при $x=x_0$ рав­на ну­лю.

Ра­вен­ст­во (1) мож­но за­ме­нить эк­ви­ва­лент­ным ра­вен­ст­вом $$\frac<\Delta y><\Delta x>=f'(x)+ \varepsilon (\Delta x),$$

где $ε(Δx)→0$ при $Δx→0$, т. е. $ε(Δx)$ есть бес­ко­неч­но ма­лая, ко­гда $Δx→0$. Т. о., ес­ли функ­ция $f$ име­ет про­из­вод­ную в точ­ке $x$, то при­ра­ще­ние $f$ в этой точ­ке мож­но пред­ста­вить в ви­де сум­мы двух сла­гае­мых. Пер­вое из них,

есть ли­ней­ная функ­ция от $Δx$ (про­пор­цио­наль­ная $Δx$), а вто­рое стре­мит­ся к ну­лю бы­ст­рее, чем $Δx$. Ве­ли­чи­на (2) на­зы­ва­ет­ся диф­фе­рен­циа­лом функ­ции, со­от­вет­ст­вую­щим при­ра­ще­нию $Δx$. При ма­лых $Δx$ мож­но счи­тать $Δy$ при­бли­жён­но рав­ным $dy$. При­ве­дён­ные рас­су­ж­де­ния о диф­фе­рен­циа­ле ха­рак­тер­ны для все­го М. а. Они рас­про­стра­ня­ют­ся на функ­ции мн. пе­ре­мен­ных и на функ­цио­на­лы.

Ин­те­грал. На­ря­ду с про­из­вод­ной, фун­дам. зна­че­ние в М. а. име­ет по­ня­тие ин­те­гра­ла. Го­во­рят, что функ­ция $F(x)$ яв­ля­ет­ся пер­во­об­раз­ной функ­ции $f(x)$ на ин­тер­ва­ле $(a,b)$, ес­ли на этом ин­тер­ва­ле $F'(x)=f(x)$. Не­оп­ре­де­лён­ным ин­те­гра­лом от функ­ции $f(x)$ на ин­тер­ва­ле $(a,b)$ на­зы­ва­ет­ся про­из­воль­ная пер­во­об­раз­ная функ­ции $f(x)$ на этом ин­тер­ва­ле. Его обо­зна­ча­ют $$\int f(x)dx.$$

Оп­ре­де­лён­ным ин­те­гра­лом (Ри­ма­на) от функ­ции $f$ на от­рез­ке $[a,b]$ на­зы­ва­ет­ся пре­дел

при $max_j(x_-x_j)→0$. Здесь

Этот пре­дел обо­зна­ча­ет­ся $$\int_^f(x)dx.$$

Ес­ли функ­ция $f(x)$ по­ло­жи­тель­на и не­пре­рыв­на на от­рез­ке $[a,b]$, то ин­те­грал от неё на этом от­рез­ке ра­вен пло­ща­ди фи­гу­ры, ог­ра­ни­чен­ной кри­вой $y=f(x)$, осью $Ox$ и пря­мы­ми $x=a$ и $x=b$. О су­ще­ст­во­ва­нии пре­де­ла (3) и о др. оп­ре­де­ле­ни­ях ин­те­гра­ла см. в ст. Ин­те­грал.

Фор­му­ла Нью­то­на – Лейб­ни­ца. Ме­ж­ду про­из­вод­ной и ин­те­гра­лом име­ет­ся связь, вы­ра­жае­мая фор­му­лой Нью­то­на – Лейб­ни­ца $$\int_^f(x)dx=F(b)-F(a).$$

Здесь $f(x)$ – не­пре­рыв­ная на $[a,b]$ функ­ция, а $F(x)$ – её пер­во­об­раз­ная.

Фор­му­ла и ряд Тей­ло­ра. На­ря­ду с про­из­вод­ной и ин­те­гра­лом важ­ней­шим по­ня­ти­ем и ин­ст­ру­мен­том ис­сле­до­ва­ния в М. а. яв­ля­ет­ся Тей­ло­ра фор­му­ла и Тей­ло­ра ряд. Ес­ли функ­ция $f(x)$, $a < x < b$, име­ет в не­ко­то­рой ок­ре­ст­но­сти точ­ки $x_0$, $a < x_0 < b$, не­пре­рыв­ные про­из­вод­ные до по­ряд­ка $n$ вклю­чи­тель­но, то её мож­но при­бли­зить в этой ок­ре­ст­но­сти мно­го­чле­ном по сте­пе­ням $x-x_0$ $$P_n(x)=f(x_0)+\frac<1!>(x-x_0)+. +\frac(x_0)>(x-x_0)^n,$$

Читайте также:  Конспект режимного момента по организации питания обеда в младшей группе

на­зы­вае­мым её мно­го­чле­ном Тей­ло­ра (сте­пе­ни $n$), т. е.

(фор­му­ла Тей­ло­ра). При этом ошиб­ка при­бли­же­ния

стре­мит­ся к ну­лю при $x→x_0$ бы­ст­рее, чем $(x-x_0)^n$. Т. о., функ­ция $f(x)$ в ок­ре­ст­но­сти точ­ки $x_0$ мо­жет быть при­бли­же­на весь­ма про­стой функ­ци­ей (мно­го­чле­ном), для вы­чис­ле­ния ко­то­рой тре­бу­ют­ся толь­ко ариф­ме­тич. опе­ра­ции.

Осо­бо важ­ны­ми яв­ля­ют­ся функ­ции, имею­щие про­из­вод­ные всех по­ряд­ков в ок­ре­ст­но­сти точ­ки $x_0$ та­кие, что для них в этой ок­ре­ст­но­сти $R_n(x)→ 0$ при $n→∞$. Они мо­гут быть пред­став­ле­ны в ви­де бес­ко­неч­но­го сте­пен­но­го ря­да Тей­ло­ра $$f(x)=f(x_0)+\frac<1!>(x-x_0)+. +\frac(x_0)>(x-x_0)^n+. $$

Раз­ло­же­ния Тей­ло­ра при оп­ре­де­лён­ных ус­ло­ви­ях воз­мож­ны и для функ­ций мн. пе­ре­мен­ных, а так­же для функ­цио­на­лов и опе­ра­то­ров.

Историческая справка

До 17 в. М. а. пред­став­лял со­бой со­во­куп­ность ре­ше­ний раз­роз­нен­ных ча­ст­ных за­дач. Напр., в ин­те­граль­ном ис­чис­ле­нии – это за­да­чи на вы­чис­ле­ние пло­ща­дей фи­гур, объ­ё­мов тел с кри­вы­ми гра­ни­ца­ми, ра­бо­ты пе­ре­мен­ной си­лы и т. д. Ка­ж­дая за­да­ча или ча­ст­ная груп­па за­дач ре­ша­лась сво­им ме­то­дом, под­час слож­ным и гро­мозд­ким. М. а. как еди­ное и сис­те­ма­тич. це­лое сло­жил­ся в тру­дах И. Нью­то­на, Г. В. Лейб­ни­ца, Л. Эй­ле­ра, Ж. Ла­гран­жа и др. учё­ных 17–18 вв., а его ба­за – тео­рия пре­де­лов – бы­ла раз­ра­бо­та­на О. Ко­ши в нач. 19 в. Глу­бо­кий ана­лиз ис­ход­ных по­ня­тий М. а. был свя­зан с раз­ви­ти­ем в 19–20 вв. мно­жеств тео­рии, тео­рии ме­ры, тео­рии функ­ций дей­ст­ви­тель­но­го пе­ре­мен­но­го и при­вёл к раз­но­об­раз­ным обоб­ще­ни­ям.

Источник

Предмет и метод математического анализа

Сегодня мы приступаем к изучению основного раздела дисциплины «Математика» — математическому анализу.

Математический анализ является одной из наиболее значительных частей математики.

Характерной чертой этого раздела можно назвать его тесную связь с практикой.

Математика развивалась и развивается под влиянием нужд практики. Та математика, которая называется элементарной и, в основном изучается в средней школе, сложилась очень давно. Существенная её особенность в том, что она оперирует с постоянными величинами.

Высшая математика сложилась сравнительно недавно.

Бурное развитие естествознания 16-17 веках требовало изучения переменных явления, процессов. В связи с этим в математику была введена переменная величина.

Введение переменной величины (его связывают с именем французского математика Рене Декарта, 1596-1650 гг.) было событием огромной важности, т.к. математика получила возможность не только устанавливать количественные соотношения между постоянными величинами, но и изучать протекающие в природе процессы, в которых участвуют переменные величины: «в математику вошло движение и, тем самым, диалектика».

С введением в математику переменной величины, изучение скорости тела, например, было сведено к изучению скорости изменения переменной величины. Так сложилась математика переменных величин – дифференциальное исчисление.

Поиски общего метода (алгоритма) вычисления площадей фигур, объемов и площадей поверхностей тел, длин кривых линий и т.д., привели к интегральному исчислению.

Разделение математики на элементарную и высшую, конечно, условно, т.к. постепенно в элементарную все больше включаются вопросы высшей математики.

Что же представляет собой эта дисциплина?

Основным понятием математического анализа является функция, а методом – предельный переход.

Зародился этот метод в глубокой древности в связи с вычислением площадей криволинейных фигур и объемов тел, ограниченных кривыми поверхностями, но был весьма несовершенен.

Научную разработку метод пределов получил в трудах английского математика, физика, механика Исаака Ньютона (1642-1727) и немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница. (1646-1716).

Этот метод применялся для решения многих задач геометрии, механики, физики и прикладных наук, хотя определения предела не было дано. Прошел длительный период, сопровождавшийся борьбой взглядов, преодолением трудностей, пока в 20-е годы 19 века французский математик Огюст Луи Коши (1789-1857) систематически развил теорию пределов как метод стройного построения математического анализа. Вот как определяет Коши понятие предела: «Если значения переменной величины неограниченно приближаются к фиксированному значению так, что с некоторого момента отличаются от него сколь угодно мало, то это фиксированное значение является пределом переменной».

Тесная связь с практикой, с прикладными науками стала характерной особенностью математического анализа с первых лет его самостоятельного существования. Последовавшее за опубликованием работ Ньютона и Лейбница бурное развитие математического анализа превратило его к концу 18 века в мощный арсенал средств самых разнообразных технических задач. Благодаря этому знакомство с математическим анализом, овладение его методами ещё тогда сделалось обязательным для каждого инженера.

Изучение любого явления в природе и технике предполагает наличие математической модели (алгебраическое уравнение, система, дифференциальное уравнение-ТЭЦ и т.д.) которая адекватно описывает исследуемое явление. Для исследования различных явления с помощью математических моделей необходимо владеть определенными методами, которые мы и будем изучать.

Источник

Математический анализ

Математический анализ раздел математики, изучающий функции и их обобщения методом пределов.

Математический анализ в широком понимании является весьма значительной частью математики, его методы широко используются в других разделах математики, в естественных и некоторых гуманитарных науках, а также в технике. Старинное название анализ бесконечно малых. В классическом математическом анализе объектом изучения (анализа) являются функции. Способы их изучения базируются на понятии предела.

Математический анализ в узком понимании употребляется для наименования только основ математического анализа, которые изучаются в системе высшего (а частично, и среднего) образования. В них входят дифференциальное и интегральное исчисления, их обоснование и непосредственные приложения.

Функция одно из основных понятий математики. Функцией называется правило (отображение, соответствие, закон) f, ставящее каждому элементу x из некоторого множества X в соответствие определённый элемент y из множества Y, который обозначают как f(x).

Понятие функции менялось с развитием математики. В античной математике идея функции не была явно выражена и не являлась объектом исследования. В зачаточной форме понятие функции появляется в средние века. В XVII веке ряд математиков фактически пользуется понятием функции. Сам термин «функция» впервые появляется в 1692 году у Г. Лейбница, причем не в современном его понимании. Близкое к современному понятию определение дал Л. Эйлер в его «Дифференциальном исчислении» 1755 года: “Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых”. Но в XVIII веке отсутствовало ясное понимание различия между функцией и её аналитическим (в виде формулы) выражением. Только в XIX веке у ряда математиков (С. Лакруа, Ж. Фурье, Н.И. Лобачевский, П. Дирихле) появляются определения функции фактически совпадающие с вышеприведённым.

Читайте также:  Шаблон аналитической справки по результатам ВПР по физике

Предел также является одним из основных понятий математики. Если данная функция y = f(x) при определённом изменении x приближается к некоторой постоянной величине c, то последняя называется пределом функции f(x). Точный смысл понятия «предел функции» имеет лишь при указании закона изменения x и наличия точного понятия близости элемента y к величине c. С пределом связаны основные понятия математического анализа: непрерывность , производная, дифференциал , интеграл. Одним из простейших случаев предела функции является предел числовой последовательности.

Предел числовой последовательности. Пусть дана числовая последовательность функция f, ставящая каждому натуральному числу n из множества натуральных чисел N в соответствие определенный элемент y из множества действительных чисел R, который обозначим как

Действительное число c называется пределом последовательности , если для любого действительного числа ε > 0 существует такое число N, что для всех натуральных n > N выполняется неравенство , при этом пишут . Здесь указано, что n берутся достаточно большими, а близость y к c определяется модулем их разности.

Предел функции. Пусть функция f ставит каждому числу x из некоторого подмножества действительных чисел R в соответствие действительное число y = f(x). Действительное число b называется пределом функции f в точке a из R (при x стремящемся к a), если для любого действительного числа ε > 0 существует такое действительное число δ > 0, что для любого такого числа x, что 0 < | x – a| < δ, выполняется неравенство |f(x) b| < ε, при этом пишут Отметим, что в определении требуется, чтобы функция f была определена для чисел x, близких к a.

Равносильным данному определению является следующее определение. Действительное число b называется пределом функции f в точке a из R, если для любой последовательности x, которая стремится к a, но никогда не принимает значения a, последовательность y= f (x), стремится к b.

К понятию предела близко подошли древнегреческие учёные при вычислении площадей и объёмов некоторых фигур и тел с помощью метода исчерпывания, когда для данной фигуры или тела строится последовательность более простых вписанных и описанных фигур или тел, разность между площадями (соответственно объёмами) которых становится все меньше и меньше, т.е. стремится к нулю. Интуитивное понятие предела начинает систематически использоваться в XVII веке рядом математиков. Из них следует особо отметить И. Ньютона, который в своём труде «Математические начала натуральной философии», опубликованном в 1687 году, широко применял «метод флюксий» – своеобразную теорию пределов. В XVIII веке понятие предела постепенно уточнялось и анализировалось. Современная теория предела начала формироваться в начале XIX века. Впервые понятие предела стало основой построения математического анализа в работах О. Коши. Окончательно оно оформилось в работах Б. Больцано и К. Вейерштрасса. В настоящее время существуют многочисленные обобщения этого понятия для разных математических объектов.

Основами математического анализа являются дифференциальное и интегральное исчисления. Основное понятие дифференциального исчисления – производная, характеризующее скорость изменения функции y = f(x) при изменении аргумента x, где y и x – действительные числа. Производная – функция, определяемая для каждого x как предел если он существует. Если существует производная функции , то её называют второй производной функции f и обозначают . Аналогично определяются производные любого натурального порядка.

Термины «производная» и «вторая производная» ввёл в 1797 году Ж. Лагранж, хотя аналогичными понятиями ранее пользовались И. Ньютон, Г. Лейбниц и другие математики.

Центральное понятие интегрального исчисления – интеграл. Его возникновение связано с двумя задачами: восстановление функции по её производной и вычисление площади под графиком функции. Указанные задачи приводят к двум видам интеграла – неопределённому и определённому.

Неопределённым интегралом функции f на отрезке (или интервале) называется совокупность всех первообразных функции f – таких функций F, что на указанном отрезке (или интервале). При этом любые две первообразные отличаются на постоянную. Обозначается неопределённый интеграл символом Каждая непрерывная на отрезке (или интервале) функция f имеет первообразную, а значит, неопределённый интеграл. Существуют различные обобщения этого понятия.

Определенным интегралом от функции f на отрезке [a,b] в случае, когда f определена на [a,b] и имеет на нём первообразную F, называют F(b) – F(a), т.е. приращение F на отрезке [a,b]. Обозначают определённый интеграл символом Указанное понимание определенного интеграла обычно связывают с именем И. Ньютона. Другое определение через предел интегральных сумм в случае непрерывных функций дал в 1823 году О. Коши, а в случае произвольных функций в 1853 Б. Риман. Определённый им интеграл стали называть интеграл Римана . Если функция f на отрезке [a,b] интегрируема в смысле Римана и имеет на [a,b] первообразную F, то определения Ньютона и Римана приводят к одинаковому результату, т.е. верна формула которую называют формулой Ньютона-Лейбница. Существуют многочисленные обобщения понятия определённого интеграла, наиболее часто применяемым в математике является предложенное в 1902 году А. Лебегом обобщение, которое называют интегралом Лебега.

Математический анализ до XVII представлял собой совокупность решений разрозненных частных задач; например, задачи на вычисление площадей фигур и объёмов тел с кривыми границами, работы переменной силы и т.д. Каждая задача или группа задач решалась своим методом, часто сложным и громоздким. Математический анализ в его современном понимании начал создаваться в XVII-XVIII веках в трудах И. Ньютона, Г. Лейбница, Л. Эйлера и других учёных. В XIX веке были четко сформулированы и изучены его основные понятия предел, производная, касательная , дифференциал, интеграл, которые в дальнейшем в XX веке обобщались и развивались. Для современного математического анализа характерно, что после строгого обоснования своих основных понятий и строгих доказательств основных утверждений о них можно решать разнообразные задачи теоретического и прикладного характера при помощи достаточно простых и чётких алгоритмов.

Читайте также:  Какие анализы сдать чтобы узнать климаксе

Из российских математиков в развитие математического анализа в XIX веке значительный вклад внесли М.В. Остроградский и П.Л. Чебышев, а в XX веке большой вклад в разные разделы математического анализа внесли математики московской математической школы, которую создали в 1920-ые годы в Московском университете Д.Ф. Егоров и Н.Н. Лузин.

Источник

Основы математического анализа

Я уверился в той истине, что понятия не должны приобретаться навыком,
но должны быть переданы с первого раза во всей их обширности, с точностью, ясностью и определённостью;
а потом уже утверждаться упражнением, чтоб могли через то глубже напечатлеться в памяти
и с лёгкостью быть применяемы в дальнейших исследованиях.

Содержание

Аксиоматика множества действительных чисел (аксиомы поля, линейного порядка, аксиома полноты, аксиомы, связывающие сложение и порядок, умножение и порядок). Алгебраические свойства действительных чисел.

Теорема о существовании и единственности точной грани непустого ограниченного числового множества.

Числовая прямая. Определение действительного числа по Коши, Дедекинду. Теорема Коши-Кантора о последовательности вложенных сегментов. Сегментное определение действительных чисел.

Покрытие множества. Теорема Бореля-Лебега о возможности выбора конечного подпокрытия всякого покрытия отрезка интервалами.

Предельная точка числового множества. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки ограниченного числового множества.

Последовательность, подпоследовательность. Предел числовой последовательности, сходящаяся последовательность. Свойства пределов последовательностей.

Критерий Коши сходимости последовательности. Теорема Вейерштрасса о существовании предела монотонной ограниченной последовательности.

Функция. Композиция функций. Обратная функция.

Предел функции Править

Предел функции, свойства пределов. Вопросы существования предела функции, теорема о пределе композиции функций. Замечательные пределы.

Непрерывные функции Править

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Локальные свойства непрерывных функций. Свойства функции, непрерывной на отрезке принимать промежуточные значения, быть ограниченной, достигать своих точных граней. Равномерная непрерывность функции.

Производные, дифференциалы Править

Производные и дифференциалы, их геометрический смысл. Основные правила дифференцирования: дифференцирование и арифметические операции, дифференцирование композиции функций, дифференцирование обратной функции, таблица производных элементарных функций. Теорема Лагранжа о конечном приращении и ее следствия. Формула Тейлора, правило Лопиталя. Применение к приближенным вычислениям. Исследование функций методами дифференциального исчисления и построение графиков.

Неопределённый интеграл Править

Неопределённый интеграл. Условия интегрируемости функции. Интегрирование некоторых элементарных функций. Основные правила интегрирования, интегрирование путём замены переменных, по частям.

Определённый интеграл Править

Интегральная сумма, определённый интеграл. Классы интегрируемых функций. Свойства определённых интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения определённого интеграла. Понятие о несобственных интегралах. Интегральный признак сходимости числовых рядов.

Геометрические и физические приложения определённого интеграла Править

Длина дуги кривой. Площадь плоской фигуры. Объём тела. Площадь поверхности.

Некоторые физические приложения определённого интеграла.

Числовые ряды Править

Числовой ряд, частичная сумма, сходимость ряда, сумма ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда. Критерий Коши сходимости ряда.

Ряды с неотрицательными членами, критерий сходимости таких рядов, теорема сравнения.

Абсолютная и условная сходимости рядов. Признак Вейерштрасса абсолютной сходимости ряда, признаки Коши и Даламбера. Сочетательное и переместительное свойства абсолютно сходящихся рядов.

Функциональные последовательности и ряды Править

Функциональный ряд и его область сходимости. Равномерная сходимость ряда. Критерий Коши равномерной сходимости, признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов.

Степенные ряды Править

Степенные ряды. Радиус и область сходимости степенного ряда. Степенной ряд как ряд Тейлора. Разложение в ряд Тейлора показательной и основных тригонометрических функций, логарифмический ряд, биномиальный ряд.

Ряды Фурье Править

Ряды Фурье. Сходимость рядов Фурье в среднем. Достаточные условия равномерной сходимости рядов Фурье.

Источник

Математический анализ

  • Математи́ческий ана́лиз (классический математический анализ) — совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное и интегральное исчисления.

Связанные понятия

Упоминания в литературе

Связанные понятия (продолжение)

Спектральные методы — это класс техник, используемых в прикладной математике для численного решения некоторых дифференциальных уравнений, возможно, вовлекая Быстрое преобразование Фурье. Идея заключается в переписи решения дифференциальных уравнений как суммы некоторых «базисных функций» (например, как ряды Фурье являются суммой синусоид), а затем выбрать коэффициенты в сумме, чтобы удовлетворить дифференциальному уравнению, насколько это возможно.

В компле́ксном анализе вы́четом заданного объекта (функции, формы) называется объект (число, форма или когомологический класс формы), характеризующий локальные свойства заданного.

Квазианалити́ческие фу́нкции в математическом анализе — класс функций, которые, нестрого говоря, можно полностью реконструировать по их значениям на небольшом участке (например, на границе области). Такое свойство значительно облегчает решение дифференциальных уравнений и исследование других задач анализа. Поскольку это свойство выполняется для аналитических функций (см. Комплексный анализ), то класс квазианалитических функций содержит класс обычных аналитических функций и может рассматриваться как.

В математике и теоретической физике функциональная производная является обобщением производной по направлению. Разница заключается в том, что для последней дифференцирование производится в направлении какого-нибудь вектора, а для первой речь идёт о функции. Оба эти понятия можно рассматривать как обобщение обычного дифференциального исчисления.

Метод ренормализационной группы (также часто называемый методом ренормгруппы, методом РГ) в квантовой теории поля — итеративный метод перенормировки, в котором переход от областей с меньшей энергией к областям с большей вызван изменением масштаба рассмотрения системы.

В математике монодро́ми́ей называется явление, состоящее в преобразовании некоторого объекта при обнесении его вдоль нетривиального замкнутого пути.

Не путать с «симплекс-методом» — методом оптимизации произвольной функции. См. Метод Нелдера — МидаСимплекс-метод — алгоритм решения оптимизационной задачи линейного программирования путём перебора вершин выпуклого многогранника в многомерном пространстве.

При конструктивном подходе к определению вещественного числа вещественные числа строят, исходя из рациональных, которые считают заданными. Во всех трёх нижеизложенных способах за основу берутся рациональные числа и конструируются новые объекты, называемые иррациональными числами. В результате пополнения ими множества рациональных чисел, мы получаем множество вещественных чисел.

Источник

Adblock
detector