Элементы комбинаторного анализа

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРНОГО АНАЛИЗА

Языковеду постоянно приходится решать задачи, в которых рассматриваются комбинации и расположения элементов, принадлежащих определенному лингвистическому множеству. Так, например, синтаксисту важно знать, сколько позиционных вариантов может давать в устно-разговорной речи предложение сегодня идет дождь. Фонетисту и специалисту в области кодирования текста нужно знать, сколько двухбуквенных, трехбуквенных и т.д. комбинаций может дать русский алфавит. Иногда при этом нужно выяснить, какая часть этих комбинаций образует слова и их формы, использующиеся в современном русском (английском или французском) языке. Задачи, в которых требуется ответить на вопрос «сколько?» или «сколькими способами?», называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением подобных задач, именуется комбинаторикой.

Комбинаторика (комбинаторный анализ, комбинаторная математика) – раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами.

Например, путем перебора нетрудно установить, что предложение сегодня идет дождь имеет в русской разговорной речи 6 вариантов: сегодня идет дождь; сегодня дождь идет; дождь сегодня идет; дождь идет сегодня; идет сегодня дождь; идет дождь сегодня. Однако число комбинаций быстро растет с увеличением числа составляющих их элементов. Так, четыре слова (увы, сегодня, дождь, идет) дают 24, пять слов – 120, шесть – 720 позиционных вариантов и т. д. Не все из этих вариантов допустимы с точки зрения норм современного литературного языка. Определить допустимые варианты путем простого перебора оказывается зачастую невозможным. Поэтому, сталкиваясь с такими комбинаторными задачами, прибегают к типовым схемам решения, учитывающим лингвистические или какие-либо другие ограничения.

Принцип умножения. Пусть необходимо выполнить одно за другим какие-то k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, после чего второе действие можно выполнить n2 способами, после чего третье действие можно выполнить n3 способами, и так далее до k-го действия, которое можно выполнить nk. способами, то все k. действий вместе могут быть выполнены n1*n2*n3*. *nk способами.

Принцип сложения. Если два действия взаимно исключают одно другое, причем одно из них можно выполнить mспособами, а другое — n способами, то какое-либо одно из них можно выполнить m+n способами.

Пример. В магазине имеется три разных коробки шоколадных конфет и четыре вида плюшевых медведей, то подарить девушке что-нибудь одно (конфеты или медведя) можно семью различными способами, а составить подарок из плюшевого медведя и коробки конфет можно двенадцатью различными способами.

1. Размещения. Предположим, что имеется алфавит, включающий пэлементов. Из этих элементов составляются m-членные комбинации (соединения), причем каждый из пэлементов может входить в соединение не более одного раза.

Такой тип комбинаций называется размещением. Число размещений из п элементов по топределяется по формуле:

Источник

Элементы комбинаторного анализа.

Основные правила комбинаторики. Правило умножения (основная теорема комбинаторики).Общее число N способов, которыми можно получить упорядоченную совокупность (a1,a2. ak), где aiÎAi (т.е. выбрать по одному элементу из каждой группы и расставить их в определенном порядке), равно

Б. Правило сложения. Если один элемент из группы Ai можно выбрать ni способами, и при этом любые две группы Ai и Aj не имеют обших элементов, то выбор одного элемента или из A1, или из A2, . или из Ak можно осуществить

размещения– это упорядоченные совокупности k элементов из n, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком элементов.

Например. Пусть имеется множество из трех элементов. Тогда все размещения двух элементов из трех таковы:

Перестановки – это упорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга только порядком элементов.

Число всех перестановок множества из n элементов обозначается и вычисляется по формуле

сочетания– это неупорядоченные совокупности элементов, отличающиеся друг от друга только составом элементов.

Например.Все сочетания без повторений двух элементов из множества :

Формула для вычисления числа сочетаний n элементов по k:

Основные понятия теории вероятностей.

• Событием называется любой исход опыта, различают следующие виды событий:

Понятие достоверного и невозможного события используется для

количественной оценки возможности появления того или иного явления, а с

количественной оценкой связана вероятность.

• Вероятность — численная мера возможности наступления некоторого события.

• Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Вероятностное пространство.

Вероя́тностноепростра́нство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплины.

Вероятностное пространство — это тройка (иногда обрамляемая угловыми скобками: ), где

§ — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;

§ — сигма-алгебра подмножеств , называемых (случайными) событиями;

§ — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .

Замечания

§ Элементарные события (элементы ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.

§ Каждое случайное событие (элемент ) — это подмножество . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие , если (элементарный) исход эксперимента является элементом .
Требование, что является сигма-алгеброй подмножеств , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.

Читайте также:  Врач может назначить и другие исследования

Простым и часто используемым примером вероятностного пространства является конечное пространство. Пусть — конечное множество, содержащее элементов.

В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство подмножеств . Его часто символически обозначают . Легко показать, что общее число членов этого семейства, т.е. число различных случайных событий, как раз равно , что объясняет обозначение.

Вероятность, вообще говоря, можно определять произвольно. Часто, однако, нет причин считать, что один элементарный исход чем-либо предпочтительнее другого. Тогда естественным способом ввести вероятность является:

где , и — число элементарных исходов, принадлежащих .

В частности, вероятность любого элементарного события:

Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Пусть дано вероятностное пространство , и полная группа попарно несовместных событий , таких что . Пусть — интересующее нас событие. Тогда

Источник



Книга: Леонтьев В.К. «Избранные задачи комбинаторного анализа»

В монографии представлен набор задач, относящихся к комбинаторной математике и демонстрирующих в «чистом виде» проблематику целого ряда математических разделов дискретной математики и информатики, включая теорию корректирующих кодов, дискретную геометрию, вероятностную комбинаторику и т. д. Большое внимание уделено методу вычисления комбинаторных сумм, предложенному Г. П. Егорычевым и являющемуся аналитическим инструментом для большинства представленных в книге разделов. Монография может быть использована при изучении курсов, относящихся к дискретной математике и информатике.

Издательство: «Московский Государственный Технический Университет (МГТУ) имени Н.Э. Баумана» (2002)

Другие книги автора:

Книга Описание Год Цена Тип книги
Эмаль зубов как биокибернетическая система В книге академика В. К. Леонтьева впервые в мировой литературе показана и обоснована биокибернетическая модель состава, структуры и свойств эмали зубов. На основе сведений о химии, биохимии… — ГЭОТАР-Медиа, — Подробнее. 2016 605 бумажная книга
Детская терапевтическая стоматология. Национальное руководство Национальное руководство по детской терапевтической стоматологии представляет собой второе издание, дополненное и усовершенствованное его авторами в соответствии с развитием специальности и… — ГЭОТАР-Медиа, Национальные руководства Подробнее. 2019 4220 бумажная книга

См. также в других словарях:

Журавлёв, Юрий Иванович — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Журавлёв. Юрий Иванович Журавлёв Российский учёный, математик, академик … Википедия

Гельфанд, Израиль Моисеевич — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Гельфанд. Израиль Моисеевич Гельфанд Дата рождения: 20&#160 … Википедия

Журавлев, Юрий Иванович — Юрий Иванович Журавлёв Российский ученый, математик, академик РАН Дата рождения: 14 января 1935 Место рождения: Воронеж, СССР Научная сфера: Дискретная математика, Математическая кибернетика Место работы … Википедия

Журавлев, Юрий — Юрий Иванович Журавлёв Российский ученый, математик, академик РАН Дата рождения: 14 января 1935 Место рождения: Воронеж, СССР Научная сфера: Дискретная математика, Математическая кибернетика Место работы … Википедия

Журавлев Ю. — Юрий Иванович Журавлёв Российский ученый, математик, академик РАН Дата рождения: 14 января 1935 Место рождения: Воронеж, СССР Научная сфера: Дискретная математика, Математическая кибернетика Место работы … Википедия

Журавлев Ю. И. — Юрий Иванович Журавлёв Российский ученый, математик, академик РАН Дата рождения: 14 января 1935 Место рождения: Воронеж, СССР Научная сфера: Дискретная математика, Математическая кибернетика Место работы … Википедия

Журавлев Юрий Иванович — Юрий Иванович Журавлёв Российский ученый, математик, академик РАН Дата рождения: 14 января 1935 Место рождения: Воронеж, СССР Научная сфера: Дискретная математика, Математическая кибернетика Место работы … Википедия

Журавлёв, Юрий — Юрий Иванович Журавлёв Российский ученый, математик, академик РАН Дата рождения: 14 января 1935 Место рождения: Воронеж, СССР Научная сфера: Дискретная математика, Математическая кибернетика Место работы … Википедия

Журавлёв Юрий Иванович — Юрий Иванович Журавлёв Российский ученый, математик, академик РАН Дата рождения: 14 января 1935 Место рождения: Воронеж, СССР Научная сфера: Дискретная математика, Математическая кибернетика Место работы … Википедия

Журавлёв Ю. И. — Юрий Иванович Журавлёв Российский ученый, математик, академик РАН Дата рождения: 14 января 1935 Место рождения: Воронеж, СССР Научная сфера: Дискретная математика, Математическая кибернетика Место работы … Википедия

Журавлёв Ю. — Юрий Иванович Журавлёв Российский ученый, математик, академик РАН Дата рождения: 14 января 1935 Место рождения: Воронеж, СССР Научная сфера: Дискретная математика, Математическая кибернетика Место работы … Википедия

Источник

XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум — 2019

СОВРЕМЕННЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ПРИМЕНЕНИЯ ЗАДАЧ КОМБИНАТОРИКИ.

Людям часто приходится сталкиваться с проблемой, когда нужно подсчитать число всех возможных способов расположения предметов и исхода какого-либо события. Человеку требуется находить всевозможные варианты, которые в последующем складываются в самые различные комбинации. С поиском комбинаций такого рода приходится иметь дело представителям многих профессий. Например, логисту, при составлении расписания движения, учителю, при назначении дежурств в классе, химику, выбирающему из многих комбинаций химических элементов наилучшую.

С задачами комбинаторики людям приходилось сталкиваться еще в глубокой древности. Дальнейшее развитие комбинаторики произошло в связи с появлением таких игр как: шашки, домино и шахматы. Для оценки шанса на победу, опытные игроки применяли технику вычисления общего количества ходов, включая как положительные, так и отрицательные исходы. В результате создавался набор комбинаций, которые способствовали увеличению вероятности выигрыша. В математической науке исследования такого рода представляют особую дисциплину-теорию вероятностей, рассчитать которую без комбинаторики будет крайне затруднительно.

В настоящие время комбинаторика получила обширное распространение и имеет огромное значение во всевозможных областях жизнедеятельности. С комбинаторными величинами сталкиваются представители многих профессий: ученый – химик, биолог, конструктор, диспетчер, астролог, экономист. Тенденция усиления интереса к комбинаторике обуславливается бурным развитием кибернетики и вычислительной техники. Понятие комбинаторика представляет собой раздел математики, базирующийся на изучении всевозможных сочетаний, перестановок, размещений, перечислений тех или иных элементов. Главная задача комбинаторики состоит в выборе правильной комбинаторной конфигурации, которая определяет метод возведения конкретной конструкции из элементов исходного множества. Примерами комбинаторных конфигураций являются блок-схемы и латинские квадраты, факториалы.

В книге Джеймса Андерсона «Дискретная математика и комбинаторика» выделяют следующие основные операции и связанные с ними задачи комбинаторики:

1) образование упорядоченных множеств, составление перестановок;

2) образование подмножеств, путем составления сочетаний;

3) образование упорядоченных подмножеств — составление размещений.

Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств — правило суммы и правило произведения.

Множество является упорядоченным, если каждому его элементу соответствует некоторое число от 1 до n, где n — число элементов множества.

Рассмотрим правила сложения и умножения в комбинаторике.

Правило суммы. Если два действия A и B взаимно исключают друг друга, причем действие C можно выполнить m способами, а B – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо A , либо B ) можно n + m способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

Раскроем такие виды соединения как сочетания без повторений и сочетания с повторениями.

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов?

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m из этих предметов?

Сочетание играет важную роль в математической науке, очень часто оно используется в биноме Ньютона.

Бином Ньютона — формула разложения натуральной степени двучлена в многочлен. Многочлены, являющиеся суммой двух слагаемых, называются биномами. Их можно представить в следующем виде:

Неотрицательные целые числа называются биномиальными коэффициентами.

Формула была выведена английским математиком Исааком Ньютоном для общего случая, когда показатель степени будет произвольным, комплексным или же действительным числом.

Определить значения биномиальных коэффициентов для любой степени можно с помощью таблицы, которая получила название треугольника Паскаля.

В комбинаторике также используется факториал, который определяет натуральное число n как произведение всех натуральных чисел от 1 до n и задается следующей формулой:

Для примера вычислим факториалы 4 и 6

Рассмотрим такие виды соединения как размещения без повторений и размещения с повторениями.

Задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Еще одной составляющей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Рассмотрим перестановки без повторений и перестановки с повторениями.

Задачу о числе перестановок без повторения можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые, задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k < n), т. е. есть одинаковые предметы.

Рассмотрим на конкретных практических примерах как работают некоторые правила в комбинаторике.

Пример №1. В магазине подарков в преддверии Нового года проходит акция: 2 набора конфет по цене одного. Маша и Настя решили воспользоваться этим специальным предложением. Им необходимо выбрать 4 из 10 имеющихся различных наборов. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Из 10 наборов конфет нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, применяя правило комбинаторики, а именно, сочетания без повторений, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

Ответ: 210 способов.

Таким образом, комбинаторика может быть применена в различных сторонах нашей повседневной жизни. Так, к примеру, мы сталкиваемся с данным понятием даже в лингвистике при рассмотрении вариантов комбинации букв, перетекающих в слова. Высокие технологии помогают применять комбинаторику даже в медицине, при расшифровке кода ДНК, выявляя таким путем наследственную предрасположенность человека к определенным заболеваниям. Но все же главной родоначальной областью применения комбинаторики является математика, поскольку сам термин был введен в математический обиход еще немецким философом Г.Ф. Лейбницем, который в 1666 году закрепил само понятие «комбинаторика» в своем фундаментальном труде «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Более того, отдельные элементы комбинаторики, осуществляющие различные функции, играют существенную роль в экономической практике. Для решения важных экономических задач, специалисты часто применяют математическую модель анализа различных ситуаций. Методы комбинаторики используются для нужд управления, планирования, бухгалтерского учета, статистики и экономического анализа. Они позволяют решить сложные проблемы экономического развития как на микро-, так и на макроуровнях. Путем комбинации различных данных, мы можем, на примере конкретного предприятия, рассчитать вероятность возникновения рисков, связанных с понесением убытков, потерей бизнеса и деловой репутации.

Людей, занимающихся анализом и расчетно-экономической деятельностью, называют аналитиками. Они могут рассчитать потенциальные возможности той или иной фирмы посредством использования свойств комбинаторики. Специалисты проводят мониторинг рынка, выявляют уровень цен и конкурентоспособность отдельно взятого хозяйственного субъекта. Аналитики занимаются сбором ценной информации и выявляют дальнейшие тенденции изменений на рынке. Множество финансовых учреждений на сегодняшний день зачастую просто нуждаются в аналитиках, поскольку они делают прогнозы на стоимость ценных бумаг, драгоценных металлов, недвижимости, а также таких важных социально-экономических проблем, таких как: уровень безработицы в стране, инфляция. Таким образом, важнейшие элементы комбинаторики, состоящие из расчетно-аналитической работы, статистики, вероятностного наступления какого-либо события, позволяют вовремя выявлять существенные экономические проблемы и предотвращать их возникновение в будущем.

Волгиянина А.Ф., Сопнева М.В. Применение комбинаторики при решении агрономических задач // Аналитические и финансово-экономические аспекты развития региональной экономики: сборник научных трудов по материалам 82-ой ежегодной научно-практической конференции молодых ученых. – 2017. – С. 69-74.

Крицкий О.Л., Михальчук А.А., Трифонов А.Ю., Шинкеев М.Л. Теория вероятностей и математическая статистика для технических университетов. I. Теория вероятностей: учебное пособие. – Томский политехнический университет: Томск: Изд-во Томского политехнического университета. – 2010. – 212 с.

Гулай Т.А., Долголопова А.Ф., Жукова В.А., Мелешко С.В., Неведомская И.А. Элементы теории вероятностей и математической статистики: учебное пособие. – Ставрополь. – 2017.

Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Литвин Д.Б., Мелешко С.В. Теория вероятностей и математическая статистика // Международный журнал экспериментального образования. – 2012. – №11. – С. 51-52.

Волгиянина А.Ф., Сопнева М.В. Применение комбинаторики при решении агрономических задач // Аналитические и финансово-экономические аспекты развития региональной экономики: сборник научных трудов по материалам 82-ой ежегодной научно-практической конференции молодых ученых. – 2017. – С. 69-74.

Жукова В.А., Гулай Т.А., Долгополова А.Ф. Решение экономических задач с помощью экономико-математических моделей // Глобальные тенденции и национальные вызовы научно-технологического развития в условиях инновационной экономики: сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции. – 2018. – С. 211-213.

Бондаренко В.А., Мамаев И.И., Сахнюк П.А., Сахнюк Т.И. Теоретико-вероятностные модели в задачах экономики природопользования // Экономические, инновационные и информационные проблемы развития региона: материалы Международной научно-практической конференции. – 2014. – С. 62-65.

Мамаев И.И., Жукова В.А. Модели азартных игр на занятиях по теории вероятностей // Экономические и информационные аспекты развития региона: теория и практика: Международная научно-практическая конференция. – Ставропольский государственный аграрный университет. – 2015. – С. 172-176.

Бондаренко В.А., Донец З.Г., Цыплакова О.Н. Теория игр и финансовые рынки // Финансово-экономические и учетно-аналитические проблемы развития региона: материалы Ежегодной 78-й научно-практической конференции. – 2014. – С. 231-236.

Долгополова А.Ф., Гулай Т.А., Жукова В.А. Особенности построения модели оценки оптимальности по Парето // Аграрная наука, творчество, рост: сборник научных трудов по материалам VIII Международной научно-практической конференции. – 2018. – С. 136-139.

Источник

Избранные задачи комбинаторного анализа

Эконометрия структурных изменений Пуарье Д. 2 Общие вопросы математики Комбинаторика Введение в комбинаторный анализ Риордан Дж. Прикладная комбинаторная математика Беккенбах Э.(ред.) Комбинаторика Виленкин Н.Я. Математическое открытие Пойа Д. Теория вероятностей Сборник задач по теории вероятностей, Свешников А.А. математической статистике и случайным функциям Вероятность Мостеллер Ф. Теория вероятностей Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория игр Матричные игры Воробьев Н.Н.(ред.) Игры и решения Льюс Р., Райфа Х. Бесконечные антагонистические игры Воробьев Н.Н. (ред) Стратегические игры Дрешер М. Математические методы в теории игр, Карлин С. программировании и экономике Позиционные игры Воробьев Н.Н. (ред.) Игровые задачи о встрече движений Красовский Н.Н. Теория игр Оуэн Г. Математическое программирование Линейное программирование Гасс С. Элементы линейной алгебры и линейного Карпелевич Ф.И. программирования Садовский Л.Е. Динамическое программирование и современная Беллман Р., теория управления Калаба Р. Геометрическое программирование Даффин Р. и др. 3 Математическая статистика Общие вопросы Метод наименьших квадратов Линник Ю.В. Теория распределений Кендалл М.,СтьюартА. Математическая статистика Уилкс С. Основные понятия мат.статистики Барра Ж.-Р. Математические методы статистики Крамер Г.

Коробка подарочная "Апрельский Париж".
Коробка подарочная. Материал: мелованный, ламинированный, негофрированный картон плотностью 1100 г/м2. Отделка: полноцветный декоративный
326 руб
Раздел: Коробки
Табурет-подставка детский с ручкой.
На прочный табурет малыш сможет не только сесть, но и встать. Табурет удобно использовать как подставку, легко переносить за ручку.
390 руб
Раздел: Стульчики
Набор цветных карандашей "Noris Club", акварельные, 24 цвета, с кистью.
Детские цветные карандаши в картонной коробке. Серия «Noris Club» предназначена для использования детьми. Специальное защитное белое
573 руб
Раздел: Акварельные

99.03.30 059″ width=»62px» height=»100px»/>Математика: Избранные задачи повышенной сложности — 108 с. <В помощь абитуриентам и студентам>ISBN 985-07-0233-8

Источник

Adblock
detector