Что называется гармоническим анализом



ГАРМОНИ́ЧЕСКИЙ АНА́ЛИЗ

ГАРМОНИ́ЧЕСКИЙ АНА́ЛИЗ (ана­лиз Фу­рье), раз­дел ма­те­ма­тич. ана­ли­за, изу­чаю­щий пред­став­ле­ния функ­ций, опи­сы­ваю­щих слож­ные ко­ле­ба­ния, с по­мо­щью бо­лее про­стых функ­ций, напр. гар­мо­ник ви­да $A \sin(ωx+φ)$, где $A,ω,φ$ – по­сто­ян­ные, а $x$ – пе­ре­мен­ная. К Г. а. от­но­сят тео­рию Фу­рье ря­дов, тео­рию Фу­рье ин­те­гра­лов, тео­рию поч­ти пе­рио­ди­че­ских функ­ций, во­про­сы, свя­зан­ные с ор­то­го­наль­ны­ми раз­ло­же­ния­ми и при­бли­же­ния­ми функ­ций три­го­но­мет­рич. по­ли­но­ма­ми. В Г. а. изу­ча­ют­ся функ­ции как од­ной, так и мн. пе­ре­мен­ных.

Пе­рио­дич. функ­ция при не очень жё­ст­ких до­пол­ни­тель­ных ус­ло­ви­ях рав­на сум­ме сво­его ря­да Фу­рье, яв­ляю­ще­го­ся ря­дом из гар­мо­нич. ком­по­нент, ко­эф­фи­ци­ен­та­ми ко­то­рых слу­жат Фу­рье ко­эф­фи­ци­ен­ты функ­ции. Для пред­став­ле­ния не­пе­рио­дич. функ­ций ис­поль­зу­ют­ся ин­те­гра­лы Фу­рье.

Г. а. за­ро­дил­ся в сер. 18 в. при ис­следо­ва­нии за­да­чи о ко­ле­ба­нии стру­ны. Важ­ную роль в раз­ви­тии Г. а. сыг­ра­ли ра­бо­ты Ж. Б. Фу­рье нач. 19 в. В са­мо­сто­ят. ма­те­ма­тич. дис­ци­п­ли­ну Г. а. офор­мил­ся в кон. 19 – нач. 20 вв. В даль­ней­шем об­на­ру­жи­лись тес­ные свя­зи Г. а. с об­щи­ми про­бле­ма­ми тео­рии функ­ций и функ­цио­наль­но­го ана­ли­за.

Ме­то­ды Г. а. ис­поль­зу­ют­ся во мно­гих об­лас­тях ма­те­ма­ти­ки: в ком­плекс­ном ана­ли­зе при изу­че­нии гра­нич­ных свойств ана­ли­тич. функ­ций, в ма­те­ма­тич. фи­зи­ке для ре­ше­ния урав­не­ний с ча­ст­ны­ми про­из­вод­ны­ми Фу­рье ме­то­дом, в тео­рии ве­ро­ят­но­стей для изу­че­ния свойств рас­пре­де­ле­ний слу­чай­ных ве­ли­чин с по­мо­щью ха­рак­те­ри­сти­че­ских функ­ций, а так­же в фи­зи­ке и тех­ни­ке.

Раз­ра­бо­та­ны раз­но­об­раз­ные приё­мы т. н. прак­ти­че­ско­го Г. а., слу­жа­щие для при­бли­жён­но­го вы­чис­ле­ния ко­эф­фи­ци­ен­тов Фу­рье и на­хо­ж­де­ния по­ли­но­мов, ап­прок­си­ми­рую­щих за­дан­ную функ­цию, ко­гда точ­ное ре­ше­ние за­труд­ни­тель­но или не­воз­мож­но (напр., ко­гда функ­ция за­да­на гра­фи­ком или таб­ли­цей зна­че­ний).

Источник

Гармонический анализ (модель сезонной волны)

При исследовании периодических явлений для построения модели сезонной волны может быть применен гармонический анализ. Гармонический анализ – это аппроксимация наблюдений тригонометрическими многочленами, в частности, рядами Фурье. Функцию, заданную в каждой точке изучаемого интервала времени, можно представить бесконечным рядом синусоидальных и косиносоидальных функций. Нахождение конечной суммы членов с синусами и косинусами называется гармоническим анализом. Каждый член суммы представляет собой гармонику с определенным периодом. Первая гармоника имеет период, равный длине исследуемого периода. Вторая равна половине основного, третья – одной трети основного и т.д. Вообще, если есть Р наблюдений, то число гармоник не будет превышать

Если величину изучаемого показателя записать как:

где Р – число значений изучаемого показателя или величина периода, то есть представить как части длины окружности, то зависимость соответствующих им значений запишется суммой:

где Р – полный период;

i — номер гармоники;

а0 – свободный член уравнения;

аi и вi — коэффициенты гармоник.

Приведенное выражение в развернутом виде запишется так:

Коэффициенты ряда Фурье определяются способом наименьших квадратов. Их оценками служат:

Для гармонического анализ наиболее удобным является период с 12 наблюдениями (три года по четыре квартала). Брать более 12 наблюдений не всегда оправдано, так как гармонический анализ основывается на исследовании колебаний вокруг среднего уровня. Тенденция ряда при этом не учитывается. Использование среднего уровня за три года, конечно, даст меньшие погрешности, чем замена тенденции средним уровнем за более длительный промежуток.

Проведение гармонического анализа ручным способом довольно трудно. В пакете программ «Статистика» разработан алгоритм решения показателей модели на ПЭВМ. Задача исследователя заключается в том, чтобы содержательно использовать результаты гармонического анализа. Так, например, нет необходимости рассчитывать параметры гармоник за весь период, если, допустим, первые три из них дают высокое значение сходимости ряда по величине коэффициента детерминации.

Читайте также:  Определение характера по почерку

Источник

Гармонический анализ

В теории и практике автоматического регулирования часто встречаются процессы, которые могут рассматриваться как периодические.

Функция f (t) называется периодической функцией, если при некотором постоянном числе Т>0, выполняется равенство

где Т – период функции;

n – любое целое число, положительное или отрицательное, а аргумент t принимаем значения из области определения функции.

Периодическая функция f (t) cпериодом Т обладает свойством, состоящем в том, что

Косинусоидальный (или синусоидальный) гармонический колебательный процесс

является примером простейшей периодической функции. Эта функция называется гармонической с амплитудой А, угловой частотой w и начальной фазой j. Нетрудно убедиться,

что гармоника имеет период T=2p/w. В самом деле

т.е. равенство (1) выполняется.

Сложение гармоник с различными частотами w, 2w, 3w, кратными наименьшей из них w приводит к образованию периодической функции с периодом T=2p/w равным периоду первой гармоники с частотой w. Эта функция отличается от гармоник. Каждое из слагаемых функции может характеризовать, например, косинусоидальное колебание, однако их сумма не является косинусоидой. Ещё более будет отличаться от косинусоиды график функции

представляющий собой сумму бесконечного ряда.

В дальнейшем приращение частоты при переходе от гармоники с номером k к соседней с номером k+1 будем обозначать Dw. Тогда частоту первой гармоники также следует обозначить Dw, т.е. Dw = 2p/T, где T – период функции f(t). Тогда

Общий член ряда (3)

Ak cos(kDwt-jk) – называется k –й гармоникой, частота k –й гармоники kDw, кратна частоте первой гармоники Dw.

Всякую ли заданную периодическую функцию f(t) можно представить в виде суммы гармонических составляющих, т. е. произвести её тригонометрическое разложение. Как найти неизвестные параметры каждой из гармоник разложения. Покажем, что периодические функции, принадлежащие весьма обширному классу функций, могут быть представлены в виде (3).

Допускается существование нулевой гармоники А. Функцию f(t) с периодом Т можно записать в виде:

Если учесть, что

и ввести обозначения

и (4) можно записать в более удобном виде:

Периодическая функция f(t), имеющая период Т, оказывается разложенной по косинусам и синусам углов, кратных углу Dwt.

Если период функции f(t) T=2p, то Dw=2p/T=1, тогда

Пусть функция f(t) имеет период, равный 2p, ипринадлежитк классу функций, для которых разложение существует. Определим неизвестные постоянные коэффициенты разложения (6) a, ak, bk (k=1,2,…).

Предварительно отметим свойство семейства функций

1, cos t, sin t, cos 2t, sin 2t … cos nt, sin nt…,

состоящее в том , что интеграл от произведения любых двух функций этого семейства на интервале, имеющем длину 2p равен нулю независимо от выбора нижнего предела интегрирования – свойство ортогональности на интервале длиной 2p.

Найдём коэффициент a. Предполагая, что ряд (6) является равномерно сходящимся,

проинтегрируем этот ряд почленно от —p до +p.

Заменим интеграл от бесконечной суммы, суммой интегралов от отдельных слагаемых (это возможно благодаря равномерной сходимости ряда (6)), тогда

Читайте также:  Введение в курсовой работе дипломной работе реферате как писать правильно образец примеры

т.к. все интегралы под знаком суммы равны нулю.

Определим коэффициенты ak и bk. Для этого умножим обе части (6) на cos(nt) , где n – целое положительное число, и проинтегрируем в пределах от -p до p

Первое слагаемое в правой части, а также те, в которых n ≠ k, из – за ортогональности семейства, обращаются в ноль т.е.

Аналогично, умножая (6) на sin(nt), после интегрирования получим

Формулы (7),(8) и (9) позволяют по заданной f(t) c периодом 2π найти коэффициенты разложения этой функции в тригонометрический ряд (6) называемый рядом Фурье. Коэффициенты ak и bk называют коэффициентами Фурье.

Если функция f(t) четная на интервале (-π; π), то произведение f(t)cos(kt) представляет собой четную функцию, а f(t)sin(kt) – нечетную. В этом случае bk=0, а коэффициенты a и ak определяются по формулам

Если функция f(t) нечетная на интервале (-π; π), то f(t)cos(kt)- нечетная функция, а f(t)sin(kt) – четная. В этом случае a=0, ak=0, а bk может быть определен по формуле

В формулах (7) –(9) интегрирование производилось на интервале (-π ; π ). Однако результат не изменится, если проводить интегрирование на каком либо другом интервале длиной 2π, например на интервале (0; 2π)

Зная ak и bk легко определить амплитуду и начальную фазу k –й гармоники

Совокупность операций, в результате которых могут быть определены гармоники периодической функции f(t), называется гармоническим анализом.

Пример. Разложить на сумму гармонических составляющих прямоугольную волну, определяемую функцией:

Полагая, что заданная функция допускает разложение её в ряд Фурье, определим коэффициенты a, ak и bk. Т.к. f(t) – нечетная, то a0=ak=0. Определим коэффициент bk, применяя формулу(12):

Амплитуда первой гармоники A1=4a/π, а частота ∆ω=1*(1/c), амплитуда второй равна нулю, третьей A3=4a/3π, а частота 3∆ω=3*(1/c) и.т.д. Значения начальных фаз для всех гармоник разложения φk=π/2, arctg(bk/ak)=arctg ∞=π/2.

Пусть функция f(t) задана на интервале (-π; π) и допускает разложение в ряд Фурье. Это значит, что ряд (6) с коэффициентами, определенными по (7) –(9) сходятся к f(t). При этом f(t) может быть непериодической. Разложение подобной функции в ряд Фурье на интервале (-π; π) означает, что f(t) периодически продолжена вне интервала (-π; π) на всю ось 0t . На интервале (-π; π) эта новая функция совпадает с f(t). Ряд Фурье для непериодической функции f(t) заданной в интервале (-π; π) совпадает с рядом Фурье для функции периодически продолженной на всю ось 0t.

Вопросы сходимости не рассматриваем.

Результаты разложения на сумму гармонических составляющих функции f(t), имеющей период 2π, распространим на периодические функции с периодом отличным от 2π .Разложим в тригонометрический ряд функцию f(t) периода Т. Опуская выкладки, получим (вводя новую переменнуюи переходя к старой)

Запишем тригонометричесеий ряд (5) в комплексной форме. Используя формулу Эйлера

Обозначив С=a/2, получим для функции f(t), заданной в интервале (-T/2, T/2), ряд Фурье (5) в комплексной форме:

Здесь, как и ранее ∆ω=2π/T – частота первой гармоники

сk – комплексные коэффициенты разложения f(t) в раз.

e jk∆ωt — комплексная гармоника.

Так как 2ck=ak-jbk , то, принимая во внимание, что комплексное число Z может быть представлено в виде:

Z=r e jφ , и равенство (13) найдём:

Читайте также:  Педиатрия расшифровка анализа крови

Величину Ck=2ck называют комплексной амплитудой k – ой гармоники. Очевидно, что Ak=2│ck│. Формулу (17) удобнее записывать в виде:

– относительная комплексная амплитуда k – ой гармоники.

Неизвестные коэффициенты в разложении (17) определяются по формуле:

В формуле (17) суммирование производится как по положительным, так и по отрицательным значениям k. Таким образом, комплексная форма ряда Фурье допускает существование и положительных и отрицательных частот ω=k∆ω. Однако после суммирования комплексных слагаемых останутся несколько вещественные величины, так как комплексные коэффициенты ck и c-k являются сопряженными.

Источник

Что называется гармоническим анализом

Сущность метода гармонического анализа заключается в том, что негармонический периодический колебательный процесс представляют как результат сложения некоторого числа гармонических колебаний. Возможность представления почти любой периодической функции в виде суммы бесконечного тригонометрического ряда была показана французским ученым Ж. Фурье в прошлом веке. Этот ряд для функции с периодом Т имеет вид:

Его называют рядом Фурье.

Первое слагаемое ряда Фурье — постоянная составляющая не зависящая от времени. Второе слагаемое представляет собой первую, или основную, гармоническую составляющую разложения с периодом Т,

равным периоду функции Третье слагаемое называют второй гармоникой. Период второй гармоники в два раза меньше периода функции Период третьей гармоники в три раза меньше Т и т. д.

Если бы для анализа периодической функции одинаково важны были все члены бесконечного тригонометрического ряда Фурье (2.1), гармонический анализ не имел бы никакой практической ценности, так как с его помощью невозможно было бы произвести никаких вычислений. Но в действительности амплитуда гармоник ряда Фурье с увеличением номера гармоники имеет тенденцию к убыванию. Поэтому для практических целей оказывается важным использовать вместо бесконечного ряда тригонометрических функций их конечное число. Количество членов ряда Фурье, которые необходимо использовать в расчетах, определяется видом функции и заданной точностью вычислений. Определение амплитуд гармоник является сложной математической задачей, поэтому мы ограничимся лишь приведением без вывода нескольких примеров разложения периодических функций в ряд Фурье.

Примером негармонической периодической функции может служить функция, график которой представлен на рисунке 6. Периодический колебательный процесс, описываемый этой функцией, может быть получен, например, в электрической цепи, состоящей из источника тока напряжением на выходных зажимах, ключа и резистора R. Если ключ замкнуть и через интервал времени разомкнуть, а затем, спустя время Т после момента первого замыкания, вновь замкнуть на время и таким образом повторять процесс включения и выключения, то график зависимости напряжения на резисторе R от времени будет иметь вид, представленный на рисунке 6. Переменное напряжение такого типа называют периодической последовательностью прямоугольных импульсов с периодом Т и длительностью т.

Амплитуда гармоники спектрального расположения

периодической последовательности прямоугольных импульсов напряжения определяется выражением:

где — амплитуда гармоники; — амплитуда прямоугольного импульса; — длительность импульса; Т — период повторения импульса; — порядковый номер гармоники.

Постоянная составляющая определяется выражением:

Амплитудный спектр гармонических составляющих периодической последовательности прямоугольных импульсов, представленной на рисунке 6, показан на рисунке 7.

В импульсной технике гармонический анализ позволяет производить расчеты электрических цепей при прохождении через них электрических сигналов сложной формы, применяя простые правила расчета для гармонических составляющих.

Источник

Adblock
detector