Анализ спектра сигнала фурье



Представление периодических сигналов рядом Фурье

Мы рассмотрим выражения ряда Фурье в тригонометрической и комплексной форме, а также уделим внимание условиям Дирихле сходимости ряда Фурье. Кроме того, мы подробно остановимся на пояснении такого понятия как отрицательная частота спектра сигнала, которое часто вызывает сложность при знакомстве с теорией спектрального анализа.

Пусть имеется периодический сигнал непрерывного времени , который повторяется с периодом с, т.е. , где — произвольное целое число.

В качестве примера на рисунке 1 показана последовательность прямоугольных импульсов длительности c, повторяющиеся с периодом с.

Из курса математического анализа известно [1, стр. 158], что система тригонометрических функций

  • Сигнал не должен иметь бесконечных значений.
  • Сигнал должен быть кусочно-непрерывным, т.е. иметь конечное число точек разрыва первого рода (скачки и устранимые разрывы).
  • Сигнал должен быть кусочно-монотонным и иметь конечное число экстремумов.

Например, периодическая функция не удовлетворяет условиям Дирихле, потому что функция имеет разрывы второго рода и принимает бесконечные значения при , где — произвольное целое. Таким образом, функция не может быть представлена рядом Фурье. Также можно привести пример функции , которая является ограниченной, но также не удовлетворяет условиям Дирихле, поскольку имеет бесконечное число точек экстремума при приближении к нулю. График функции показан на рисунке 2.

На рисунке 2а показано два периода повторения функции , а на рисунке 2б — область в окрестности . Можно видеть, что при приближении к нулю, частота колебаний бесконечно возрастает, и такая функция не может быть представлена рядом Фурье, потому что она не является кусочно-монотонной.

Необходимо заметить, что на практике не бывает сигналов с бесконечными значениями тока или напряжения. Функции с бесконечным числом экстремумов типа также в прикладных задачах не встречаются. Все реальные периодические сигналы удовлетворяют условиям Дирихле и могут быть представлены бесконечным тригонометрическим рядом Фурье вида:

Во всех точках, где сигнал непрерывен, ряд Фурье (2) сходится к значениям данного сигнала, а в точках разрыва первого рода — к среднему значению , где и — пределы слева и справа от точки разрыва соответственно.

Также из курса математического анализа известно [2, стр. 500], что использование усеченного ряда Фурье, содержащего только первых членов вместо бесконечной суммы, приводит к приближенному представлению сигнала :

В предыдущем параграфе мы рассмотрели тригонометрический ряд Фурье для разложения произвольного периодического сигнала , удовлетворяющего условиям Дирихле. Применив формулу Эйлера, можно показать:

Рассмотрим коэффициенты для комплексных экспонент, вращающихся с положительными частотами :

Из выражения (2) следует, что для вещественного сигнала коэффициенты и ряда (2) также являются вещественными. Однако (9) ставит в соответствие вещественному сигналу , набор комплексно-сопряженных коэффициентов , относящихся как положительным, так и к отрицательным частотам .

В предыдущем параграфе мы осуществили переход от тригонометрического ряда Фурье (2) к ряду Фурье в комплексной форме (9). В результате, вместо разложения периодических сигналов в базисе вещественных тригонометрических функций, мы получили разложение в базисе комплексных экспонент, с комплексными коэффициентами , да еще и появились отрицательные частоты в разложении! Поскольку данный вопрос часто встречает непонимание, то необходимо дать некоторые пояснения.

Во-первых, работать с комплексными экспонентами в большинстве случаев проще, чем с тригонометрическими функциями. Например, при умножении и делении комплексных экспонент достаточно лишь сложить (вычесть) показатели, в то время как формулы умножения и деления тригонометрических функций более громоздкие.

Дифференцировать и интегрировать экспоненты, пусть даже комплексные, также проще, чем тригонометрические функции, которые постоянно меняются при дифференцировании и интегрировании (синус превращается в косинус и наоборот).

Если сигнал периодический и вещественный, то тригонометрический ряд Фурье (2) кажется более наглядным, потому что все коэффициенты разложения , и остаются вещественными. Однако, часто приходится иметь дело с комплексными периодическими сигналами (например, при модуляции и демодуляции используют квадратурное представление комплексной огибающей). В этом случае при использовании тригонометрического ряда Фурье все коэффициенты , и разложения (2) станут комплексными, в то время как при использовании ряда Фурье в комплексной форме (9) будет использованы одни и те же коэффициенты разложения как для вещественных, так и для комплексных входных сигналов.

Ну и наконец, необходимо остановиться на пояснении отрицательных частот, которые появились в (9). Этот вопрос часто вызывает непонимание. В повседневной жизни мы не сталкиваемся с отрицательными частотами. Например, мы никогда не настраиваем свой радиоприемник на отрицательную частоту. Давайте рассмотрим следующую аналогию из механики. Пусть имеется механический пружинный маятник, который совершает свободные колебания с некоторой частотой . Может ли маятник колебаться с отрицательной частотой ? Конечно нет. Как не бывает радиостанций, выходящих в эфир на отрицательных частотах, так и частота колебаний маятника не может быть отрицательной. Но пружинный маятник — одномерный объект (маятник совершает колебания вдоль одной прямой).

Мы можем также привести еще одну аналогию из механики: колесо, вращающееся с частотой . Колесо, в отличие от маятника вращается, т.е. точка на поверхности колеса перемещается в плоскости, а не просто совершает колебания вдоль одной прямой. Поэтому для однозначного задания вращения колеса, задать частоту вращения недостаточно, потому что необходимо задать также направление вращения. Вот именно для этого мы и можем использовать знак частоты.

Так, если колесо вращается с угловой частотой рад/с против часовой стрелки, то считаем, что колесо вращается с положительной частотой, а если по направлению часовой стрелки, то частота вращения будет отрицательной. Таким образом, для задания вращения отрицательная частота перестает быть бессмыслицей и указывает направление вращения.

А теперь самое главное, что мы должны понять. Колебание одномерного объекта (например, пружинного маятника) может быть представлено как сумма вращений двух векторов, показанных на рисунке 4.

Маятник совершает колебания вдоль вещественной оси комплексной плоскости с частотой по гармоническому закону . Движение маятника показано горизонтальным вектором. Верхний вектор совершает вращения на комплексной плоскости с положительной частотой (против часовой стрелки), а нижний вектор вращается с отрицательной частотой (по направлению часовой стрелки). Рисунок 4 наглядно иллюстрирует хорошо известное из курса тригонометрии соотношение:

Ряд Фурье в комплексной форме представляет собой разложение периодического сигнала в сумму комплексных экспонент, вращающихся с положительными и отрицательными частотами кратными рад/c с соответствующими комплексными коэффициентами , которые определяют спектр сигнала . Комплексные коэффициенты могут быть представлены по формуле Эйлера как , где — амплитудный спектр, a — фазовый спектр.

Поскольку периодические сигналы раскладываются в ряд только на фиксированной сетке частот , то спектр периодических сигналов является линейчатым (дискретным).

На рисунке 5 приведен пример амплитудного и фазового спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (см. рисунок 1) при с, длительности импульса c и амплитуде импульсов В.

Амплитудный спектр исходного вещественного сигнала является симметричным относительно нулевой частоты, а фазовый спектр — антисимметричным. При этом заметим, что значения фазового спектра и соответствуют одной и той же точке комплексной плоскости .

Можно сделать вывод, что все коэффициенты разложения приведенного сигнала являются чисто вещественными, и фазовый спектр соответствует отрицательным коэффициентам .

Обратим внимание, что размерность амплитудного спектра совпадает с размерностью сигнала . Если описывает изменение напряжения во времени, измеряемое в вольт, то амплитуды гармоник спектра также будут иметь размерность вольт.

В данном разделе рассмотрено представление периодических сигналов при помощи ряда Фурье. Приведены выражения для ряда Фурье в тригонометрической и комплексной формах. Мы уделили особое внимание условиям Дирихле сходимости ряда Фурье и были приведены примеры функций, для которых ряд Фурье расходится.

Мы подробно остановились на выражении ряда Фурье в комплексной форме и показали, что периодические сигналы как вещественные, так и комплексные представляются рядом комплексных экспонент с положительными и отрицательными частотами. При этом коэффициенты разложения являются также комплексными и характеризуют амплитудный и фазовый спектр периодического сигнала.

Читайте также:  Корреляционно регрессионный анализ статья

В следующем разделе мы более детально рассмотрим свойства спектров периодических сигналов.

Данные для построения рисунков данного раздела были просчитаны при использовании библиотеки DSPL-2.0

Источник

Анализ спектра сигнала фурье

Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Значение гармонических сигналов для радиотехники обусловлено рядом причин.

1. Гармонические сигналы инвариантны относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой.

2. Техника генерирования гармонических сигналов относительно проста.

Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, — что осуществлено спектральное разложение этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр.

2.1. Периодические сигналы и ряды Фурье

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал со следующим свойством:

Здесь Т — период сигнала.

Ставится задача найти спектральное разложение такого сигнала.

Ряд Фурье.

Зададим на отрезке времени рассмотренный в гл. I ортонормированцый базис, образованный гармоническими функциями с кратными частотами;

Любая функция из этого базиса удовлетворяет условию периодичности (2.1). Поэтому, — выполнив ортогональное разложение сигнала в этом базисе, т. е. вычислив коэффициенты

получим спектральное разложение

справедливое на всей бесконечности оси времени.

Ряд вида (2.4) называется рядом Фурье даннрго сигнала. Введем основную частоту последовательности, образующей периодический сигнал. Вычисляя коэффициенты разложения по формуле (2.3), запишем ряд Фурье для периодического сигнала

Итак, в общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами кратными основной частоте последовательности.

Каждую гармонику можно описать ее амплитудой и начальной фазой Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде

Подставив эти выражения в (2.5), получим другую, — эквивалентную форму ряда Фурье:

которая иногда оказывается удобнее.

Спектральная диаграмма периодического сигнала.

Так принято называть графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала. Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы (рис. 2.1).

Здесь по горизонтальной оси в некотором масштабе отложены частоты гармоник, а по вертикальной оси представлены их амплитуды и начальные фазы.

Рис. 2.1. Спектральные диаграммы некоторого периодического сигнала: а — амплитудная; б — фазовая

Особо интересуются амплитудной диаграммой, которая позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала.

Изучим несколько конкретных примеров.

Пример 2.1. Ряд Фурье периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами , четной относительно точки t = 0.

В радиотехнике отношение называют скважностью последовательности. По формулам (2.6) находим

Окончательную формулу ряда Фурье удобно записать в виде

На рис. 2.2 представлены амплитудные диаграммы рассматриваемой последовательности в двух крайних случаях.

Важно отметить, что последовательность коротких импульсов, следующих друг за другом достаточно редко , обладает богатым спектральным составом.

Рис. 2.2. Амплитудный спектр периодической последовательности ррямоугольных видеоимпульсов: а — при большой скважности; б — при малой скважности

Пример 2.2. Ряд Фурье периодической последовательности импульсов, образованной гармоническим сигналом вида ограниченным на уровне (предполагается, что ).

Введем специальный параметр — угол отсечки , определяемый из соотношения откуда

В соотаетствии с этим величина равна длительности одного импульса, выраженной в угловой мере:

Аналитическая запись импульса, порождающего рассматриваемую последовательность, имеет вид

Постоянная составляющая последовательности

Амплитудный коэффициент первой гармоники

Аналогично вычисляют амплитуды — гармонических составляющих при

Полученные результаты обычно записывают так:

где так называемые функции Берга:

Графики некоторых функций Берга приведены на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Графики нескольких первых функций Берга

Комплексная форма ряда Фурье.

Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить и несколько ионному, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

Легко видеть, что функции этой системы периодичны с периодом ортонормированы на отрезке времени так как

Ряд Фурье произвольного периодического сигнала в данном случае принимает вид

Обычно используют следующую форму записи:

Выражение (2.11) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме.

Спектр сигнала в соответствии с формулой (2.11) содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причем . В ряде (2.11) слагаемые с положительными и отрицательными частотами объединяются в пары, например:

Итак, отрицательная частота — понятие не физическое, а математическое, вытекающее из способа представления комплексных чисел.

Изображение периодического сигнала на комплексной плоскости.

Структура ряда Фурье (2.11) дает возможность изобразить периодический сигнал посредством бесконечной суммы вращающихся векторов на комплексной плоскости (рис. 2.4).

Построение осуществляется следующим образом. Из начала координат комплексной плоскости (точка О) строят вещественный вектор который отображает член, с номером

Рис. 2.4. Графическое отображение ряда Фурье в комплексной форме

Затем в формуле (2.11) полагают и строят суммы векторов

отвечающие вкладу слагаемых с положительными и отрицательными частотами. Если ряд Фурье сходится, то каждая из сумм отображается вектором конечной длины.

Как указывалось, коэффициенты ряда Фурье с положительными и отрицательными частотами комплексно сопряжены, поэтому вектор — всегда вещественный. Будучи сложен с постоянной составляющей он образует вектор, длина которого равна — значению сигнала в начальный момент времени.

В дальнейшем картина трансформируется — векторы Си соответствующие положительным частотам, вращаются с угловыми скоростями — в сторону увеличения фазового угла, в то время как векторы вращаются в противоположном направлении. Конец результирующего вектора в каждый момент времени определяет текущее значение сигнала.

Такая наглядная интерпретация спектрального разложения периодического сигнала будет использована в последующем параграфе.

Источник

Анализ спектра сигнала фурье

Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Значение гармонических сигналов для радиотехники обусловлено рядом причин.

1. Гармонические сигналы инвариантны относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой.

2. Техника генерирования гармонических сигналов относительно проста.

Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, — что осуществлено спектральное разложение этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр.

2.1. Периодические сигналы и ряды Фурье

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал со следующим свойством:

Здесь Т — период сигнала.

Ставится задача найти спектральное разложение такого сигнала.

Ряд Фурье.

Зададим на отрезке времени рассмотренный в гл. I ортонормированцый базис, образованный гармоническими функциями с кратными частотами;

Любая функция из этого базиса удовлетворяет условию периодичности (2.1). Поэтому, — выполнив ортогональное разложение сигнала в этом базисе, т. е. вычислив коэффициенты

получим спектральное разложение

справедливое на всей бесконечности оси времени.

Ряд вида (2.4) называется рядом Фурье даннрго сигнала. Введем основную частоту последовательности, образующей периодический сигнал. Вычисляя коэффициенты разложения по формуле (2.3), запишем ряд Фурье для периодического сигнала

Итак, в общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами кратными основной частоте последовательности.

Каждую гармонику можно описать ее амплитудой и начальной фазой Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде

Подставив эти выражения в (2.5), получим другую, — эквивалентную форму ряда Фурье:

которая иногда оказывается удобнее.

Спектральная диаграмма периодического сигнала.

Так принято называть графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала. Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы (рис. 2.1).

Здесь по горизонтальной оси в некотором масштабе отложены частоты гармоник, а по вертикальной оси представлены их амплитуды и начальные фазы.

Читайте также:  Источники права международной безопасности

Рис. 2.1. Спектральные диаграммы некоторого периодического сигнала: а — амплитудная; б — фазовая

Особо интересуются амплитудной диаграммой, которая позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала.

Изучим несколько конкретных примеров.

Пример 2.1. Ряд Фурье периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами , четной относительно точки t = 0.

В радиотехнике отношение называют скважностью последовательности. По формулам (2.6) находим

Окончательную формулу ряда Фурье удобно записать в виде

На рис. 2.2 представлены амплитудные диаграммы рассматриваемой последовательности в двух крайних случаях.

Важно отметить, что последовательность коротких импульсов, следующих друг за другом достаточно редко , обладает богатым спектральным составом.

Рис. 2.2. Амплитудный спектр периодической последовательности ррямоугольных видеоимпульсов: а — при большой скважности; б — при малой скважности

Пример 2.2. Ряд Фурье периодической последовательности импульсов, образованной гармоническим сигналом вида ограниченным на уровне (предполагается, что ).

Введем специальный параметр — угол отсечки , определяемый из соотношения откуда

В соотаетствии с этим величина равна длительности одного импульса, выраженной в угловой мере:

Аналитическая запись импульса, порождающего рассматриваемую последовательность, имеет вид

Постоянная составляющая последовательности

Амплитудный коэффициент первой гармоники

Аналогично вычисляют амплитуды — гармонических составляющих при

Полученные результаты обычно записывают так:

где так называемые функции Берга:

Графики некоторых функций Берга приведены на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Графики нескольких первых функций Берга

Комплексная форма ряда Фурье.

Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить и несколько ионному, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

Легко видеть, что функции этой системы периодичны с периодом ортонормированы на отрезке времени так как

Ряд Фурье произвольного периодического сигнала в данном случае принимает вид

Обычно используют следующую форму записи:

Выражение (2.11) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме.

Спектр сигнала в соответствии с формулой (2.11) содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причем . В ряде (2.11) слагаемые с положительными и отрицательными частотами объединяются в пары, например:

Итак, отрицательная частота — понятие не физическое, а математическое, вытекающее из способа представления комплексных чисел.

Изображение периодического сигнала на комплексной плоскости.

Структура ряда Фурье (2.11) дает возможность изобразить периодический сигнал посредством бесконечной суммы вращающихся векторов на комплексной плоскости (рис. 2.4).

Построение осуществляется следующим образом. Из начала координат комплексной плоскости (точка О) строят вещественный вектор который отображает член, с номером

Рис. 2.4. Графическое отображение ряда Фурье в комплексной форме

Затем в формуле (2.11) полагают и строят суммы векторов

отвечающие вкладу слагаемых с положительными и отрицательными частотами. Если ряд Фурье сходится, то каждая из сумм отображается вектором конечной длины.

Как указывалось, коэффициенты ряда Фурье с положительными и отрицательными частотами комплексно сопряжены, поэтому вектор — всегда вещественный. Будучи сложен с постоянной составляющей он образует вектор, длина которого равна — значению сигнала в начальный момент времени.

В дальнейшем картина трансформируется — векторы Си соответствующие положительным частотам, вращаются с угловыми скоростями — в сторону увеличения фазового угла, в то время как векторы вращаются в противоположном направлении. Конец результирующего вектора в каждый момент времени определяет текущее значение сигнала.

Такая наглядная интерпретация спектрального разложения периодического сигнала будет использована в последующем параграфе.

Источник

Суть преобразования Фурье

Возможно, для турбо-версии статьи у вас некорректно отображаются формулы. Для корректного отображения статьи посмотрите оригинальную версию.

Содержание данной заметки раскрывает вопросы как и почему работает известное всем энергетикам преобразование Фурье. Здесь мы постарались воздержаться от использования сложного понятийного аппарата, все использованные выкладки должны быть понятны каждому, кто хоть как-то овладел начальным уровнем университетского курса высшей математики. Для всех остальных не исключено понимание изложенного материала на интуитивном уровне.

В настоящее время преобразование Фурье широко используется как основа различных инструментов анализа аварийных осциллограмм. Примеры его использования в современных программах просмотра осциллограмм:

  • выделение действующего значения записанной электрической величины и её текущей фазы (рис. 1);
  • получение спектра – рис. 2;
  • построение векторной диаграммы (рис. 3);
  • построение временных годографов комплексных замеров электрических величин (к примеру, сопротивлений) – рис. 4.

Рис. 1. Иллюстрация применения преобразования Фурье для выделения действующего значения тока

Рис. 2. Спектр как пример использования преобразования Фурье

Рис. 3. Векторная диаграмма как пример использования преобразования Фурье

Рис. 4. Годограф сопротивления как пример использования преобразования Фурье

Таким образом, роль преобразования Фурье в анализе аварийных осциллограмм сложно переоценить. Далее перейдём к его сути.

  1. Преобразование Фурье – это некий линейный оператор (см. рис. 5), который преобразует входной сигнал u(t) во временной области (t – это время) в сигнал U(f) в частотной области (f – это частота).

Рис. 5. Преобразование Фурье как «чёрный ящик»

  1. Предполагается, что входной сигнал u(t) состоит из набора (суммы) косинусоид следующего вида:

где f – частота; A – амплитуда; φ – начальная фаза.

Далее идёт очень важное утверждение. В соответствии с известной формулой Эйлера, функция cos определяется как сумма двух комплексных экспонент:

Теперь можно внести уточнение: в общем случае преобразование Фурье предполагает, что входной сигнал u(t) состоит не из набора косинусоид, как это утверждалось чуть выше, а из набора комплексных экспонент.

Примечание: в преобразовании Фурье частота f – это частота комплексной экспоненты, а не косинусоиды.

Рассмотрим подробнее, из каких именно комплексных экспонент состоит косинусоида s(t). Первая экспонента e1(t) описывает на комплексной плоскости равномерное движение точки по окружности с радиусом A/2 с постоянной угловой скоростью ω = 2πf – см. рис. 6.

Рис. 6. Первая комплексная экспонента, из которой состоит косинусоида

Вторая экспонента e2(t) – это сестра-близнец первой экспоненты e1(t), но в отличие от неё она описывает вращение точки по окружности в противоположную сторону – см. рис. 7. Также заметим, что графики e1(t) и e2(t) симметричны относительно действительной оси Re.

Рис. 7. Вторая комплексная экспонента, из которой состоит косинусоида

Итак, косинусоида с частотой f состоит из комплексной экспоненты с частотой f и комплексной экспоненты с частотой —f.

  1. Такие периодические функции как синусоида, косинусоида и комплексная экспонента обладают очень важным с точки зрения преобразования Фурье свойством: их среднее значение (и интеграл тоже) на периоде равен нулю. Иными словами, если взять комплексную экспоненту с частотой fx и усреднить её на периоде 1/fx, то в результате усреднения мы получим нулевое значение. Это правило справедливо практически для всех комплексных экспонент с любой частотой fx. Но в этом правиле есть одно исключение. Это экспонента с частотой f = 0 Гц, т.е. постоянная составляющая. В результате усреднения постоянной составляющей на любом интервале времени получается сама постоянная составляющая, т.е. она не обнуляется.

Посмотрим, как на рассмотренном правиле построено преобразование Фурье.

В качестве примера возьмём косинусоиду с частотой 50 Гц и амплитудой A. Мы знаем, что эта косинусоида состоит из двух комплексных экспонент с частотами -50 Гц и +50 Гц. Как эти составляющие расположены в области частот можно увидеть на рис. 8. Всего лишь два значения |U(f)| ненулевые ­– в точках -50 Гц и +50 Гц.

Рис. 8. Вид косинусоиды с частотой 50 Гц и амплитудой A в области частот

Если преобразование Фурье предназначено для преобразования сигнала во временной области u(t) в сигнал в частотной области U(f), то в случае косинусоиды u(t)=s(t) в качестве U(f) мы должны получить функцию, изображённую на рис. 8. Что такого можно сделать с s(t), чтобы на выходе получить |U(f)| как на рис. 8? Для простоты ограничимся не всей функцией |U(f)|, а только лишь одним её значением в точке f=50 Гц. В этой точке значение функции должно быть |U(50)|=A/2.

Читайте также:  Анализ финансовой отчетности состоит

Итак, нам дана косинусоида s(t), заданное значение частоты f=50 Гц и информация о том, что при этой частоте должно выполняться равенство |U(50)|=A/2. Как нужно преобразовать s(t), чтобы на выходе преобразования было |U(50)|=A/2? Очевидно, что если просто усреднить косинусоиду s(t) на периоде 1/f=1/50=0,02 с, то на выходе мы получим ноль, т.е. |U(50)|=0. Поэтому просто усреднение на периоде не годится в качестве искомого преобразования. Попробуем другой вариант. Умножим s(t) на комплексную экспоненту с частотой -50 Гц:

В результате входящая в состав косинусоиды s(t) экспонента с частотой ­-50 Гц превратилась в экспоненту с частотой -100 Гц, а экспонента с частотой +50 Гц превратилась в комплексную экспоненту с частотой 0 Гц, т.е. в постоянную составляющую. Налицо смещение частот всех комплексных экспонент, входящих в состав входного сигнала, на значение -50 Гц. То, как после этого стали располагаться в области частот составляющие косинусоиды s(t) (теперь это сигнал s1(t)), показано на рис. 9.

Рис. 9. Вид смещённой на -50 Гц косинусоиды в области частот

Далее усредним полученный сигнал s1(t) на периоде 0,02 с. В результате усреднения входящая в состав s1(t) экспонента с частотой -100 Гц (

) обнуляется, т.к. интервал времени 0,02 с равен двум её собственным периодам. В то же время вторая экспонента с частотой 0 Гц, входящая в состав s1(t), не обнуляется, результат её усреднения равен A/2. Итак, усреднив сигнал s1(t) на интервале времени 0,02 с, получим

Получили то, что хотели, а именно |U(50)|=A/2.

Собственно, в рассмотренных двух процедурах и заключается преобразование Фурье:

1) смещение частот всех комплексных экспонент, входящих в состав входного сигнала u(t), на значение —fx для того, чтобы комплексная экспонента с частотой fx превратилась в постоянную составляющую, тем самым приобретя, так сказать, иммунитет к обнулению через усреднение.

2) усреднение сигнала со смещёнными частотами на интервале времени, кратном периодам всех комплексных экспонент, входящих в состав сигнала u(t), с целью их обнуления (всех экспонент, кроме той, что превратилась в постоянную составляющую).

В общем случае в состав входного сигнала u(t) входит неограниченное число комплексных экспонент со всевозможными частотами. В этом общем случае процедура 2) работает только на интервале усреднения от -∞ до +∞, поскольку только такой интервал времени кратен любому периоду любой комплексной экспоненты. Итак, получили формулу для преобразования Фурье:

Приведённое объяснение преобразования Фурье помогает образному восприятию его сути. Более глубокое понимание этого преобразования и его модификаций (дискретное преобразование Фурье, оконное преобразование Фурье, ряд Фурье, вейвлет-преобразование и т.д.) достигается через понятие свертки функций.

Источник

Что такое преобразование Фурье?

Преобразование Фурье, названное в честь французского математика Жозефа Фурье, представляет собой математическую процедуру, которая позволяет нам определить частотный состав функции. Для инженеров-электронщиков преобразование Фурье обычно применяется к функциям времени, которые мы называем сигналами.

Разложение на синусоиды

График зависимости напряжения или тока от времени, который мы видим на экране осциллографа, представляет собой интуитивно понятное представление поведения сигнала. Однако это не единственное полезное представление.

Во многих случаях (например, при проектировании радиочастотных систем) нас в первую очередь интересует периодическое поведение сигналов. В частности, нас интересует понимание сигнала относительно синусоидальной периодичности, потому что синусоиды – это уникальное математическое выражение «чистой» частоты.

Преобразование Фурье выявляет элементарную периодичность сигнала, раскладывая этот сигнал на составляющие его синусоидальные частоты и определяя амплитуды и фазы этих составляющих частот.

Слово «разложение» здесь имеет решающее значение. Преобразование Фурье учит нас думать о сигнале во временной области как о сигнале, который состоит из базовых синусоидальных сигналов с различными амплитудами и фазами.

Например, прямоугольный сигнал может быть разложен на бесконечную последовательность синусоид с постоянно уменьшающимися амплитудами и постоянно увеличивающимися частотами. Точная последовательность для прямоугольного сигнала, с развязкой по постоянному току, с периодом T и амплитудой A, может быть записана следующим образом:

Мы можем преобразовать это в следующую форму, которая немного более интуитивна:

где f – частота прямоугольного сигнала в герцах.

На следующем графике синим цветом показан исходный прямоугольный сигнал и первые восемь синусоид в бесконечной последовательности.

Рисунок 1 Прямоугольный сигнал и составляющие его синусоиды Рисунок 1 – Прямоугольный сигнал и составляющие его синусоиды

Посмотрев на этот график, вы всё еще можете немного скептически относиться к тому, что эти синусоиды можно объединить в прямоугольный сигнал. Но следующий график вас убедит. Он показывает исходный прямоугольный сигнал и форму сигнала, полученную путем сложения всех составляющих синусоид, показанных выше.

Рисунок 2 Исходный прямоугольный сигнал и результат сложения синусоид Рисунок 2 – Исходный прямоугольный сигнал и результат сложения синусоид

Функции времени и частоты

Когда мы вычисляем преобразование Фурье, мы начинаем с функции времени f(t) , а с помощью математического разложения получаем функцию частоты F(ω) (обычно в теоретических обсуждениях преобразования Фурье мы используем угловую частоту).

Оценка функции F(ω) на некоторой определенной угловой частоте, скажем 100 рад/с, дает нам величину и фазу синусоидальной составляющей f(t) , частота которой равна 100 рад/с. Если f(t) не имеет синусоидальной составляющей на 100 рад/с, то ее амплитуда будет равна нулю.

Вам может быть интересно, как одна функция F(ω) может говорить и об амплитуде, и о фазе. Преобразование Фурье создает комплексную функцию, что означает, что результат самого преобразования не является ни амплитудами частотных компонентов в f(t) , ни фазами этих компонентов. Как и с любым комплексным числом, чтобы определить амплитуду или фазу, мы должны выполнить дополнительные вычисления.

Идея комплексного преобразования несколько более интуитивна, когда мы работаем с дискретным преобразованием Фурье, а не со «стандартным» преобразованием, в котором мы начинаем с символической функции времени и заканчиваем символической функцией частоты.

Дискретное преобразование Фурье работает с последовательностью числовых значений и создает последовательность коэффициентов Фурье. Эти коэффициенты – это типовые комплексные числа (т.е. они имеют форму a + jb ), и обычно, при анализе частотных составляющих сигнала мы используем амплитуду этих комплексных чисел, вычисленную как \(\sqrt\) ,.

Построение графика результатов преобразования Фурье

В технических описаниях, отчетах об испытаниях, учебниках и т.д. очень часто встречаются графики частотных составляющих. График зависимости амплитуды от частоты мы часто называем спектром – например, «давайте посмотрим на спектр сигнала» означает «давайте посмотрим на какое-то визуальное представление информации об амплитудах в результатах преобразования Фурье».

На следующем графике показан спектр прямоугольного сигнала, с развязкой по постоянному току, с амплитудой 1 и частотой 1 Гц.

Рисунок 3 Спектр прямоугольного сигнала с амплитудой 1 и частотой 1 Гц Рисунок 3 – Спектр прямоугольного сигнала с амплитудой 1 и частотой 1 Гц

Если вы сравните нанесенные на график амплитуды частотных «всплесков» с амплитудами соответствующих синусоидальных составляющих в бесконечном ряду, описанном выше, то вы увидите, что они равны.

Вычисление преобразования Фурье

Мы почти подошли к концу этой статьи, и я все еще не рассказал вам, как мы на самом деле математически выполняем преобразование Фурье определенного сигнала.

Честно говоря, я не вижу необходимости тщательно исследовать математические подробности во вводной статье: в настоящее время в частотном анализе преобладают удобные для пользователя программные методы, а инженеры не тратят много времени на преобразование символического выражения во временной области в символическое выражение в частотной области.

Тем не менее, имея дело с чем-то важным, таким как преобразование Фурье, полезно, по крайней мере, иметь представление о математике, лежащей в его основе. Итак, без лишних слов, вот как мы преобразовываем f(t) в F(ω) :

Заключение

Я надеюсь, что данная статья дала вам четкое, интуитивно понятное объяснение того, что такое преобразование Фурье и как оно дает нам дополнительное понимание сути сигнала.

Преобразование Фурье – это только начало обширного массива связанных тем. Если вы хотите узнать больше, ознакомьтесь со статьями, перечисленными ниже.

Источник

Adblock
detector