4 Понятие числовой последовательности Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности их свойства

§ 3. Абсолютная величина числа

Определение.Абсолютной величиной(илимодулем) действительного числа(обозначается) называется неотрицательное число, удовлетворяющее условиям:

Ясно, что всегда

. (3.1)

Свойства абсолютных величин:

1) ; 2); 3); 4).

Доказательство.1) Если, тов силу (3.1). Если, то. Первое свойство доказано.

2) Имеем , отсюда. Второе свойство доказано.

3) , третье свойство доказано.

Четвертое свойство доказывается так же, как свойство 3).

Замечание. Свойство 1) распространяется на любое число слагаемых, свойство 3) – на любое число сомножителей.

Отметим также, что , т.е.худовлетворяет неравенствутогда и только тогда, когда принадлежит интервалу.

Геометрический смысл модуля действительного числа состоит в том, что равен расстоянию от точкихна числовой прямой до нуля.

§ 4. Понятие числовой последовательности. Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности, их свойства

Определение 1. Если каждому значениюn из множества натуральных чиселставится в соответствие по определенному закону некоторое действительное число, то множество занумерованных действительных чисел называетсячисловой последовательностью .

– члены последовательности,– сокращенная запись последовательности. Например,.

Определение 2. Пусть даны две последовательностии. Последовательностиназываются соответственно суммой, разностью, произведением и частным последовательностейи.

Определение 3. Последовательностьназываетсяограниченной, если множество ее членов ограничено, т.е. существует число, такое, что. Последовательностьназываетсяограниченной сверху (снизу), если существует числоМ, такое, что.

Если последовательность неограниченна, то для любого числа найдется номерnтакой, что. Ясно, что если последовательность ограничена только снизу или только сверху, то она неограниченна. Среди неограниченных последовательностей выберем бесконечно большие последовательности.

Определение 4. Последовательностьназываетсябесконечно большой, если для любогонайдется номерN, такой, чтодля всех.

Всякая бесконечно большая последовательность неограниченна, но не всякая неограниченная последовательность бесконечно большая. Примером этого может служить последовательность .

Определение 5. Последовательностьназываетсябесконечно малой, если для любогонайдется номерN, такой, чтодля всех.

Установим основные свойства бесконечно малых последовательностей.

Теорема 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пустьи– бесконечно малые последовательности. Возьмемпроизвольно и положим. По определению 5 длянайдутся номераи, такие, чтодля всехидля всех. Положим. Тогда для всехи по определению 5 последовательностьбесконечно малая. Теорема доказана.

Теорема 2. Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

ожно поручить студентам доказать теоремы 2, 3 и следствие самостоятельно).

Теорема 4. Всякая бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть– бесконечно малая последовательность. Положим. По определению 5 найдется номерN, такой, чтодля всех. Обозначим. Тогдадля всехn. Теорема доказана.

Следствие теорем 3и 4. Произведение двух (любого конечного числа) бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 5. Если все члены бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числус, то.

Доказательство. Предположим противное, т.е. что. Возьмем. По определению 5 найдется номерN, такой, чтодля всех, т.е.для всех, а этого не может быть, так какдля всехn. Противоречие доказывает утверждение теоремы.

Теорема 6. Если– бесконечно большая последовательность, то– бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Возьмемпроизвольно и положим. Тогда по определению 4 найдется номерN, такой, чтодля всех значений. Отсюдадля всех, т.е.– бесконечно малая последовательность по определению 5. Теорема доказана.

Теорема 7. Если– бесконечно малая последовательность и все члены этой последовательности отличны от нуля, то последовательность– бесконечно большая (доказать самостоятельно).

Источник

Абсолютная величина (модуль). Свойства абсолютных величин

В первом уравнении , если , а во втором уравнении , если .

Есть такие свойства модулей:

, тогда согласно (1) . В это же время , поэтому из первого свойства получается Значит . Теперь пусть , тогда из (1) имеем . В то же время , поэтому . Значит .

Доказательство неравенства (3).

а) Если , тогда в первом соотношении , а во втором – .

б) Если же , тогда , а .

Аналогично можно доказать (4).

а) тогда согласно (1) , а согласно (3) дальше у нас получается .

б) , поэтому снова согласно (1), (3), и (2) имеем:

Доказательство неравенства (5).

Так как , тогда из полученных соотношений получается неравенство (5).

По определению модуль произведения чисел и равен либо x , если , либо -( x ), если x . Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел и равно либо x . , либо , если . что доказывает рассматриваемое свойство.

Рассмотрим (7) свойство:

Модуль частного от деления на = частному от деления модуля числа на модуль числа

Так как частное = , тогда

Определение и свойство вышеперечисленных модулей применяются при исследовании функций, построения их графиков, решения уравнений и неравенств с модулями.

Геометрические свойства абсолютной величины

Если смотреть с точки зрения геометрической абсолютной величины, тогда модуль вещественного (действительного) или комплексного чисел находится расстояние между числом и началом координат. Рассмотрим комплексные и вещественные (действительные числа.

Вещественные числа

  • Область определения – это .
  • Область значений – .
  • Чётная функция.
  • Функция дифференцируема везде, кроме нуля. Если точка , тогда функция претерпевает излом.

Комплексные числа

  • Область определения, то есть, вся комплексная плоскость.
  • Область значений – .
  • Модуль как комплексная функция ни в одной точке не дифференцируема

Обратим внимание, что абсолютной величине можно дать геометрическое объяснение: если задать на числовой оси точку с абсциссой , тогда – это расстояние этой точки к точке .

Алгебраические свойства абсолютной величины

Для любых вещественных чисел имеют место такие соотношения:

  • = <>.
  • .
  • .
  • Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: .
  • Только тогда , когда , но модуль совершенно любого числа равен или же больше нуля:.
  • Модули противоположных чисел всегда равны: .
  • Модуль произведения, где есть от двух чисел всегда равен произведению их модулей.
  • Модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел: .
  • Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля:.
  • .
  • .
  • .
  • .
  • , если существует.

Примеры решения задач с модулем

Задача

1) Построить график функции .

2) Решить уравнение .

3) Решить неравенство .

4) Решить неравенство .

Решение

Сначала построим график функции , а за основу берём (1) неравенство:

При этом в первом уравнении , если , а , если . Поэтому графиком функции будет ломаная, см. рис. 1.

Абсолютная величина

2) Первую часть задания выполнили, то есть, график построили а теперь нам необходимо решить уравнение .

Читайте также:  Анализ произведения парус пушкин

Пользуясь изображением выше (рис. 1) по формуле (8) решим сначала уравнение на интервале . Так как , тогда .

Если же , тогда , поэтому .

Если , тогда у нас получается единственное решения .

Решили уравнение и получилось, что , .

Обратим ваше внимание, что решения и легко понять по рис. 1. А если выходить из геометрического содержания абсолютной величины, тогда очевидно, что на расстоянии от точки на оси находятся две точки и .

3) Решаем неравенство .

Можно осуществить на каждом из интервалов и или проще воспользоваться нашим уже построенным рисунком, из которого видно, что график ломаной находится не выше прямой для , то есть

4) Итак, решаем последнее неравенство .

Запишем, согласно с рис. 1:

Соотношение (9) и (10) будут использоваться и в дальнейшем.

Ответ

Решили уравнение и у нас получилось: , ;

Из первого неравенства получилось, что , где .

Задача

Записать без знака модуля для функции . Построить её график.

Решение

Приравняем подмодульное выражение к нулю .

Теперь разделим ось на два интервала и .

Абсолютная величина

Если , тогда , поэтому, согласно с (1) .

Если же , тогда , поэтому . Значит

Строим отдельно графики: для и для . (см. рис. 2)

Абсолютная величина

Мы видим, что график функции можно получить параллельным переносом графика влево вдоль оси на две единицы.

Очевидно, что по большому счёту график функции можно получить параллельным переносом графика по направлению оси на единиц вправо, если и влево, если .

Как и в примере 1 после построения графика можно легко найти решение уравнения , а также неравенств .

Ответ

Запишем: = и неравенство .

Задача

Построить график функции .

Решение

Аналогично предыдущему примеру, приравняем к нулю подмодульное выражение: .

Источник



Абсолютная величина числа

Валерий Штыров Абсолютная величина числа
Следует различать в доказательствах их содержательную и формальную стороны.
Определение. Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х (обозначается |x|) называется неотрицательное действительное число, удовлетворяющее условиям:
|x|=x если х > или = 0;
|x | = -x, если х<0.
Следует обратить внимание на основной принцип математики: она имеет дело со стереотипами, а не с содержанием. Её язык — это язык стереотипов, то есть формальный язык.
Из определения следует, что для любого х справедливо х < ; = |x|
В силу того, что не рассматривается явно содержание, объекты математики начинают представляться в качестве первичных объектов относительно реальности, тем самым реальность начинает рассматриваться сквозь призму существующих формализмов и реальные отношения переворачиваются с ног на голову. В этом случае качестве неявной предпосылки рассматривается положение, что ряд чисел, отрицательных и положительных, равномерно увеличивается слева направо, и поэтому любое отрицательное число, чем большим оно является по абсолютной своей величине, тем меньшим оно является по отношению ко всем находящимся справа от него числам, и вследствие чего противоположность положительных и отрицательных чисел снимается. Однако при таком подходе на деле рассматриваются только положительные числа, так как какое бы большое отрицательное число мы ни взяли, мы можем начать с него счет слева направо, и т.о. нами будет получен ряд положительных чисел. Первое и единственное различие между положительными и отрицательными числами состоит в противоположности направлений счета, который осуществляется от одной, принятой за нулевую, точки: положительные числа формируются посредством счета слева направо, отрицательные числа — посредством счета справа налево. Если применяется только счет слева направо, отрицательные числа как таковые снимаются (вырождаются).
Посмотрим на практику применения операции вычитания. Пусть, например, 5-2=3. Здесь число 2 рассматривается в качестве положительного. То есть из 5 положительных единиц мы вычитаем две положительные единицы, и у нас остаются 3 положительные единицы. Однако операция вычитания с логической точки зрения рассматривается в качестве отрицания, как и отрицательные числа представляют собой количественную форму отрицания. Другими словами, операция вычитания преобразуется в операцию сложения, если иметь ввиду существование двух зеркальных рядов чисел — положительных и отрицательных, и тогда мы можем сказать, что каждому положительному числу соответствует равное ему по величине, но противоположное по знаку число. И тогда мы получаем возможность поляризации, противопоставления или сопоставления объектов двух противоположных родов: мы имеем число 5 и число -2.
И тогда мы можем рассматривать одну сторону по отношению к другой: 5 по отношению к -2 будет давать уменьшение 5 до 3, тогда как -2 по отношению к 5 будет давать увеличение -2 до +3. Т.о. мы получаем в по-видимому в одном и том же процессе соотношения +5 и -2 два противоположных процесса, равновесие которых устанавливается на 3. Но здесь два противоположных отношения: одного к другому и другого к одному. При этом само понятие положительного и отрицательного становится относительным: то, что одним по отношению к другому рассматривается по отношению к самому себе как положительное (либо отрицательное), по отношению к другому рассматривается как отрицательное (либо положительное). И это имеет место всюду, где выполняется поляризация противоположностей. В то же время, если единица включает в себе положительное и отрицательное в форме их единства, то некоторое число, представляющее это единство, необходимо распадается на две свои противоположные части, например, 5 = (-5, +5), причем, всякая попытка непосредственного соединения сторон ведет к упразднению числа в ноль. Практика бытия такова, что человек отождествляет себя со одной из сторон противоположности, и это отождествление превращает эту сторону противоположности в его глазах в положительную. Тогда как в этом случае другая сторона противоположности превращается для него в только отрицательное, в небытие, отрицающее его бытие. Его собственное бытие есть положительное, существование чего обеспечивается его поведение. Противоположная сторона есть небытие, которое уничтожается им в той мере, в какой реализуется положительность его собственного бытия.
Сам по себе факт введения абсолютных чисел отражает фиксацию на одной стороне противоположности вместо того, чтобы учитывались тенденции относительно друг друга обеих сторон противоположностей. На субъективном уровне это означает, что единственной точкой отсчета субъекта для него является он сам, каким бы он ни был. Им не учитывается противостоящая ему сторона, выступающая для него только в качестве отрицательного. И этим определяется поляризация субъекта относительно всего того, что не является частью его личности (по Джемсу). Т. о., не рассматривается соотношение действительного целого, и этим определяется доминирование природного закон борьбы всех против всех.

Свойства абсолютных величин.
1. Абсолютная величина алгебраической суммы нескольких действительных чисел не больше суммы абсолютных величин слагаемых:
|x+y| < ; = |x| + |y|
Пусть x+y>0 Здесь предполагается, что либо обе переменные х, у положительные, либо одна из них отрицательная и меньше другой. Если первое, то есть х, у — положительные величины, то х+у = |x|+|y| = | x+y|. Если имееn место второе, то если х — положительная величина, то ей будут соответствовать все значения у, такие, при которых у = ; < x. Если оба числа являются положительными, то их сравнение даёт их сумму, которая представлена максимальным числом. Если одно из чисел отрицательно, то максимальная сумма равна положительному числу, а минимальная сумма равна отрицательному числу, равному положительному. Т.о., что представляет собой операция сравнения? — операцию сложения положительных (либо отрицательных) и сокращения положительных и отрицательных чисел. В связи с этим мы видим, что сравнение чисел с одинаковым модусом даёт их суммарное увеличение, тогда как сравнение чисел разных модусов ведет к их сокращению (уничтожению их общих частей). -5 + -2 = -7. 5+2 =7. Но -5 + 2 =-3, -2+5 =3. Сложение положительных и отрицательных чисел ведет к уничтожение (обнулению) их общих частей в соответствии с правилом: «равные противоположные числа взаимно уничтожают друг друга».
С точки зрения субъекта, рассматривающего себя в качестве положительной величины, -7 меньше +7. Для него -7 при движении слева направо плавно переходит в +7. Действительно, если субъект имел долг -7 рублей, и стал получать на каждом шаге по единице, то есть начал осуществлять счет слева направо, то в этом процессе -7 и +7 качественно не отличаются друг от друга. Но вы, конечно, заметили, что при этом образуется положительный ряд чисел. Как и обратно, если начать счет справа налево, мы будем, начиная с +7, производить отрицательный ряд чисел. И при этом в обоих случаях мы имеем дело с процессом увеличения — в одном случае положительных, в другом — отрицательных чисел. И если так, то, согласно принципу счета, для которого всякий предшествующий шаг счета есть число, меньшее последующему шагу, для счета слева направо число -7 меньше числа +7, тогда как для счета справа налево, напротив, +7 меньше -7, и при этом счет начинается с полярной величины: слева направо счет начинается с -7, справа налево — с +7.
Однако с точки зрения теории противоположностей очевидно же, что -7 и +7 равны по величине, однако, помимо модуля, числа обладают еще одним свойством, связанным с направлением счета. Так, две противоположные равные по величине (модулю) силы равны друг другу, но направлены в противоположные стороны. Мир есть мир противоположностей. И в этом мире |-7| = |+7|, то есть они равны по количеству (модулю) и противоположны по качеству (модусу). А это означает, что мы имеем дело не с непрерывным рядом увеличивающихся чисел от отрицательных к положительным, а мы имеем дело с тем, что с каждым числом связаны две его характеристики: модус — положительный либо отрицательный, и количественная характеристика. Число — это не только его модуль, но и модус, и обе эти его характеристики неотъемлемы от него.
В связи с этим, что в этом случае должна представлять собой операция вычитания, например, 5-2. Если у нас есть пять костей и мы вычитаем из них две кости, мы совершаем определенное действие. Если у нас есть 5 костей и мы прибавляем к ним две кости, это снова действие, то теперь уже противоположно направленное. Имея дело с пятью костями, мы применяем к ним отрицательное действие, то есть две кости определяем как отрицательные, то есть определяем их как отрицательные величины. И тем самым мы приходим к одной операции сравнения. Особенность такого рода подхода состоит в том, что мы целиком имеем дело с чувственным уровнем, то есть всё можем показать «на натуре». Пискунов эту мысль дает сокращенно: так как х < ; = |x|, у < ; = |y|. И это означает, что понятие абсолютной величины числа понадобилось ради зеркального отражения отрицательных чисел в положительные.

Читайте также:  Контрольная работа Анализ эффективности руководителя

Пусть |х+y|<0
Понятие, которым объединяются операции сложения и вычитания в единство, есть операция сравнения. Если бы мы трактовали знак «+» как простой знак сравнения двух чисел, то числа х, у будут положительными или отрицательными, то есть если есть запись «х», то она читается как +х либо как -х (х = +х + -х) Знак «+» употребляется в двух значениях: как характеристика модуса переменной и как операции сравнения. Эта двойственность употребления связана с тем, что общее, родовое понятие на практике применяется всегда в конкретной форме — доминирующей стороны противоположности, вытесняющей другую сторону. В данном случае это — операция сложения, вытесняющая операцию вычитания. Однако это уже не собственно операция сложения, это именно операция сравнения, включающая в себя неявно также операцию вычитания.
Абсолютная величина суммы двух чисел, меньшей ноля, имеет место, если из двух чисел одно является отрицательным и оно больше положительного либо же оба числа являются отрицательными. Пусть х и у отрицательные. |-3+ -5| = |-8|; |-3|+|-5|=|-8| То есть абсолютная величина суммы чисел одинаковых модусов равна сумме абсолютных величин этих чисел. В данном случае выполняется принцип отражения отрицательных чисел в положительные. Однако если суммируемые числа обладают разными модулем и модусом, то положение вещей изменяется. 3+-5 =-2. -2 — это показатель рассогласования между противоположностями. Если 3 рассматривается по отношению к -5, то -5 — это показатель направления справа налево и числа шагов счета, равных 5: 1-й шаг: 3-2, 2 шаг: 2-1, 3 шаг: 1-0, 4 шаг: 0- -1, 5 шаг: -1 — -2. Если -5 рассматривается по отношению к 3, то числом 3 определяется направление счета слева направо и число шагов, равное 3: 1-й шаг -5 — -4, 2 шаг: -4 — -3, 3 шаг: -3- -2.
|3+ -5|=|-2|; Здесь -2 — показатель рассогласования между числами 3, -5. Тогда |-2| ограничивает существующую информацию отношений между противоположными числами указанием лишь на модуль рассогласования, вводя неопределенность относительно модуса. |3|+|-5|=|8|=8. В этом выражении вводится неопределенность более существенная, так как то же число |8| будет получаться при любых наборах модусов чисел. Очевидно, правило |x+y| = ; < |x|+|y| выполняется Но если есть прямая операция, то ей должна соответствовать и операция обратная. Только в этом случае будет выполняться одно — однозначное отношение. Но если из |8| следуют любые модусы модулей 5,3, то тут уже не спасает даже добавление одного модуса одного из чисел. И поэтому не случайно мы знаем правила переходов к абсолютным значениям чисел, но не знаем правил обратных переходов. Разумеется, не составляет особого труда провести исследования в этом направлении, да вот только возникает вопрос: а смысл? Однако, если что-то существует, то оно существует для чего-то, и в данном случае речь идет об отношениях «больше — меньше» относительно модулей чисел с разными модусами, а это может пригодиться лишь там, где всё множество чисел упорядочено в один ряд в направлении слева направо от бесконечно малых до бесконечно больших.

Читайте также:  Онкомаркеры на рак щитовидной железы

Источник

АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА

модуль, деиствительного числа — неотрицательное число (обозначается ), определяемое следующим образом: если если А. в. (модуль) комплексного числа (хи y — действительные числа) — число Для А. в. имеют место следующие соотношения:

Об обобщении понятия А. в. на случай произвольного тела см. статью Абсолютное значение.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977—1985 .

Смотреть что такое «АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА» в других словарях:

АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — величина, рассматриваемая сама по себе, без сравнения с другими. Так, вес данного тела, напр. куска меди, равный положим 3 фунт., есть его абсолютный в., тогда как вес тела сравнительно с весом такого же объема воды относительный или удельный в.… … Словарь иностранных слов русского языка

АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — (модуль) действительного числа a неотрицательное число (обозначается … Большой Энциклопедический словарь

АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — англ. value of a number, absolute (modul); нем. Grosse der Zahl Absolute. А. в. положительного числа есть само это число; А. в. отрицательного числа есть противоположное ему положительное число; А. в. нуля равна нулю. А. в. числа а обознач./а/.… … Энциклопедия социологии

абсолютная величина — (модуль) действительного числа а, неотрицательное число (обозначается |а|), определяемое так: если а≥0, то |а| = а, если а … Энциклопедический словарь

Абсолютная величина — График вещественной функции … Википедия

абсолютная величина — absoliutusis dydis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. absolute magnitude; absolute quantity vok. absolute Größe, f rus. абсолютная величина, f pranc. grandeur absolue, f … Automatikos terminų žodynas

абсолютная величина — absoliutusis dydis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydis, gaunamas statistiniu stebėjimu. atitikmenys: angl. absolute values vok. absolute Größe, f rus. абсолютная величина, f pranc. grandeur absolue, f … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

Абсолютная величина — действительного числа равна этому числу, если оно положительно, равна противоположному числу, если оно отрицательно, и равна нулю, если число равно нулю. А. в. числа а обозначается | a |. Например, | +5 | = | 5 | = 5; | 0 |= 0. А. в. (или … Большая советская энциклопедия

АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — (модуль) действительного числа а неотрицат. число (обозначается |а|), определяемое так: если а >= 0, то |а|=а, если а < 0. то |а| = а. Напр., |3| = 3. | 5| = = ( 5) =5. |0| = 0. А. в. (модуль) комплексного числа г = х + iy (х и у действит.… … Большой энциклопедический политехнический словарь

АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — (модуль) действительного числа а, неотрицательное число (обозначается |а.|), определяемое так: если а>0, то |а| =а, если a <0, то |а| = а. Напр., |3| =3, | 5| = ( 5) = 5, |0|=0. А.в. (модуль) комплексного числа z х + iy (х и у действительные… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Источник

Абсолютная величина. Модуль.

Абсолютными величинами называются — объем или размер события, которое изучается или явления, процесса, который выражен в соответствующих единицах измерения в конкретных условиях места и времени.Или, другими словами: это просто число без учёта знака (всегда с плюсом).

Абсолютное значение величины — это само число (без знака), как например: температура, давление, скорость и т. п. Модуль — это число без направления, например: давление, скорость, сила и т. п.

Абсолютная величина числа или модуль числа x — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x. Обозначается: |x|.

Если x вещественный, то абсолютная величина – это непрерывная кусочно-линейная функция, которая определяется так, формула:

Абсолютная величина. Модуль.

Обобщением этого понятия есть модуль комплексного числа z=x+iy, иногда называют абсолютной величиной. Его определяют формулой:

Абсолютная величина. Модуль.

Абсолютные величины, виды:

  • Индивидуальная абсолютная величина — характеризует единицу совокупности,
  • Суммарная абсолютная величина — характеризует группу единиц или всю совокупность.

Свойства модуля.

  • Модулю присущи некоторые характерные результаты — свойства модуля.
  • Модуль числа не бывает числом меньше нуля. Обоснование этого свойства: модуль числа – это расстояние, а расстояние не выражается числом ниже нуля.
  • Модуль числа = 0 только в том случае, если это число является нулем. Модуль нуля – это нуль по определению. Нуль – это начало отсчета, ни одна больше точка на координатной прямой нулем не является. Исходя из этого, каждому числу, не равному нулю, соответствует точка, не являющаяся началом отсчета. Значит, расстояние начало отсчета – любая точка, не соответствующая точке O, не равно нулю, т.к. расстояние между 2 точка и равно нулю только если они совпадают. Из этого следует, что нулю равен только модуль нуля.
  • Противоположные числа имеют одинаковые модули, т.е. Абсолютная величина. Модуль., для каждого числа a. Так и есть, 2 точки на координатной прямой, координаты которых – противоположные числа, расположены на равном расстоянии от начала отсчета, т.о. модули противоположных чисел одинаковы.
  • Абсолютная величина. Модуль.По определению модуль произведения чиселa и b равен либо a·b, если Абсолютная величина. Модуль., либо −(a·b), если Абсолютная величина. Модуль.. Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел a и b равно либо a·b , Абсолютная величина. Модуль., либо −(a·b) , если Абсолютная величина. Модуль., что доказывает рассматриваемое свойство.
  • Модуль частного от деленияa на b = частному от деления модуля числа a на модуль числа b, т.е.,

Абсолютная величина. Модуль.

.

Так как частное Абсолютная величина. Модуль.= Абсолютная величина. Модуль., то Абсолютная величина. Модуль.. В силу предыдущего свойства имеем Абсолютная величина. Модуль.. Воспользуемся равенством Абсолютная величина. Модуль., которое справедливо в силу определения модуля числа.

Абсолютная величина. Модуль.

  • — неравенство треугольника, где a, b и c – произвольные действительные числа.

Основные свойства абсолютной величины.

Вещественные числа.

  • Область определения: Абсолютная величина. Модуль..
  • Область значений: Абсолютная величина. Модуль..
  • Функция чётная.
  • Функция дифференцируема везде, кроме нуля. В точке x = 0 функция претерпевает излом.

Комплексные числа.

Абсолютная величина. Модуль.

  • Область определения: вся комплексная плоскость.
  • Область значений: .
  • Модуль как комплексная функция не дифференцируется ни в одной точке.

Алгебраические свойства абсолютной величины.

Абсолютная величина. Модуль.

Для каждого имеют место следующие соотношения:

  • Абсолютная величина. Модуль.,
  • Абсолютная величина. Модуль.,
  • Абсолютная величина. Модуль.,

Как для вещественных, так и для комплексных a, b имеют место соотношения:

  • Абсолютная величина. Модуль., причём Абсолютная величина. Модуль.только если Абсолютная величина. Модуль.,
  • Абсолютная величина. Модуль.
  • Абсолютная величина. Модуль.,
  • Абсолютная величина. Модуль.неравенство треугольника,
  • Абсолютная величина. Модуль.,
  • Абсолютная величина. Модуль.,
  • Абсолютная величина. Модуль.,
  • Абсолютная величина. Модуль., если a k существует.

Источник

Adblock
detector